Введение
Дисперсия волн на поверхности воды
В гидродинамике дисперсия водных волн обычно относится к частотной дисперсии, что означает, что волны различной длины волны распространяются с разными фазовыми скоростями. Водные волны, в данном контексте, – это волны, распространяющиеся по поверхности воды, где гравитация и поверхностное натяжение выступают в качестве восстанавливающих сил. В результате вода со свободной поверхностью обычно рассматривается как диспергирующая среда. При определенной глубине воды поверхностные гравитационные волны – то есть волны, возникающие на границе раздела воздуха и воды, где гравитация является единственной силой, возвращающей поверхность в состояние покоя – распространяются быстрее с увеличением длины волны. С другой стороны, для заданной (фиксированной) длины волны гравитационные волны в глубокой воде имеют большую фазовую скорость, чем в мелкой воде. В отличие от поведения гравитационных волн, капиллярные волны (то есть волны, обусловленные исключительно поверхностным натяжением) распространяются быстрее на более коротких длинах волн. Помимо частотной дисперсии, водные волны также проявляют амплитудную дисперсию. Это нелинейный эффект, при котором волны большей амплитуды имеют фазовую скорость, отличную от фазовой скорости волн малой амплитуды.
Дисперсия частот для поверхностных гравитационных волн
Этот раздел посвящен частотной дисперсии волн на слое жидкости, вызванной гравитацией, в рамках линейной теории. Для информации о влиянии поверхностного натяжения на частотную дисперсию обратитесь к разделам, посвященным влиянию поверхностного натяжения в теории волн Эйри и капиллярных волн.
Отношение дисперсии
В таблице ниже приведена дисперсионная зависимость ω² = [Ω(k)]² между угловой частотой ω = 2π / T и волновым числом k = 2π / λ, а также фазовая и групповая скорости. Как часто наблюдается вблизи берега, групповая скорость равна фазовой скорости.
История
Полная линейная дисперсионная зависимость была впервые найдена Пьером Симоном Лапласом, хотя в его решении задачи о линейных волнах были некоторые ошибки. Полная теория линейных волн воды, включая дисперсию, была разработана Джорджем Бидделлом Эйри и опубликована около 1840 года. Аналогичное уравнение также было получено Филиппом Келландом примерно в то же время (однако он допустил некоторые ошибки в выводе теории волн). Предел малых глубин (при малом h / λ), ω2 = gh k2, был выведен Джозефом Луи Лагранжем.
Низководные воды
Эффекты дисперсии амплитуды проявляются, например, в солитарной волне: единичном возвышении воды, движущемся с постоянной скоростью в мелководье с горизонтальным дном. Следует отметить, что солитарные волны близки к солитонам, но не являются ими в точности – после взаимодействия двух (столкновения или обгона) солитарных волн, их амплитуда немного изменяется и остается колебательное последействие. Единственное солитонное решение уравнения Кортевега — де Вриса, при высоте волны H и глубине воды h, измеренных вдали от гребня волны, движется со скоростью:
Таким образом, для этой нелинейной гравитационной волны именно полная глубина воды под гребнем волны определяет скорость, при этом более высокие волны движутся быстрее, чем более низкие. Следует отметить, что решения в виде солитарных волн существуют только при положительных значениях H, солитарных гравитационных волн впадин не существует.
Волны на среднем токе: Допплеровское смещение
Водные волны на среднем течении (то есть волна в движущейся среде) испытывают доплеровский сдвиг. Предположим, что дисперсионное соотношение для неподвижной среды имеет вид:
где k – волновое число. Тогда для среды со средней скоростью V, дисперсионное соотношение с учетом доплеровского сдвига становится:
где k – вектор волнового числа, связанный со скалярным волновым числом k соотношением: k = |k|. Скалярное произведение k•V равно: k•V = kV cos α, где V – модуль вектора средней скорости V: V = |V|. А α – угол между направлением распространения волны и направлением среднего течения. Для волн и течения в одном направлении k•V = kV.