Статистикалық механикадағы универсалдылық және оның қолданылуы

Кіріспе

Статистикалық механикада универсалдылық – жүйенің динамикалық ерекшеліктеріне тәуелді емес, жүйелердің кең классы үшін тән қасиеттердің болуын байқау. Жүйелер масштабтау лимитінде, яғни көптеген өзара әрекеттесетін бөліктер біріккен кезде универсалдылықты көрсетеді. Бұл терминді қазіргі мағынасында Лео Каданов 1960 жылдары енгізді, бірақ концепцияның қарапайым түрі ван дер Ваальс теңдеуінде және фазалық өтулердің ертерек Ландау теориясында да кездеседі, бірақ оларда масштабтау дұрыс ескерілмеген. Термин математиканың, соның ішінде комбинаторика мен ықтималдықтар теориясының бірнеше салаларында кеңінен қолданыла бастады, егер жүйенің егжей-тегжейін білмей, анықтамадағы бірнеше жаһандық параметрлерден құрылымның сандық ерекшеліктерін (мысалы, асимптотикалық мінез-құлқы) анықтауға болатын жағдайда. Ренormalization тобы универсалдылықтың интуитивті, бірақ математикалық тұрғыдан толыққанды дәлелденбеген түсіндірмесін ұсынады. Ол статистикалық өріс теориясындағы операторларды маңызды және маңызсыз деп жіктейді. Маңызды операторлар – бұл еркін энергияға, жорамал уақыт Лагранжианына әсер ететін және континуум лимитіне өзгерістер енгізе алатын, алыс қашықтықта байқалатын бұзылыстарға жауапты операторлар. Маңызсыз операторлар тек қысқа қашықтықтағы ерекшеліктерді өзгертеді. Масштабқа инвариантты статистикалық теориялардың жиынтығы универсалдық сыныптарды анықтайды, ал маңызды операторлардың коэффициенттерінің шекті өлшемді тізімі сингулярлық мінез-құлқының параметрлерін анықтайды.

Мысалдар

Универсалдылық өз атауын көптеген физикалық жүйелерде кездесетіндіктен алды. Универсалдылықтың мысалдары:

Құм үйінділеріндегі лавиналар. Лавинаның болу ықтималдығы лавинаның мөлшеріне қуат заңы бойынша пропорционал, және лавиналар барлық масштабтарда кездеседі. Бұл "өздігінен ұйымдасқан сындылық" деп аталады. Болаттан тасқа, қағазға дейінгі материалдардағы жарықтар мен жырлардың пайда болуы мен таралуы. Жырдың бағытының өзгеруі немесе сынық бетінің кедір-бұдырлығы, қуат заңы бойынша масштабқа пропорционал. Диэлектриктердің электрлік түйілуі, ол жарықтар мен жырларға ұқсас. Бұзылған орта арқылы сұйықтықтардың сіңуі, мысалы, жарылған тау жыныстары арқылы мұнайдың немесе хроматографиядағыдай сүзгі қағаз арқылы судың өтуі. Қуат заңының масштабталуы ағыс жылдамдығын сынықтардың таралуымен байланыстырады. Ерітіндіштегі молекулалардың диффузиясы және диффузиялық шектеулі агрегация құбылысы. Агрегат қоспасындағы әртүрлі өлшемдегі тастардың таралуы (тастарға гравитация әсер ететін кезде). Фазалық өтуге жақын сұйықтықтардағы критикалық опалесценцияның пайда болуы.

Теориялық шолу

Материалдар ғылымының 1970 және 1980 жылдардағы маңызды жетістіктерінің бірі – кванттық өріс теориясына ұқсас статистикалық өріс теориясының, универсалдылықтың микроскопиялық теориясын құруға қолданылуы мүмкін екендігін түсіну болды. Басты байқау – әртүрлі жүйелер үшін фазалық өту кезіндегі мінез-құлық үздіксіз өріспен сипатталады және дәл сол статистикалық өріс теориясы әртүрлі жүйелерді сипаттайды. Барлық осы жүйелердегі масштабтау көрсеткіштерін өріс теориясынан ғана алуға болады, олар сындық көрсеткіштер деп аталады. Фазалық өту немесе сындық нүктеге жақын, барлық масштабтарда бұзылулар пайда болады, сондықтан құбылысты сипаттау үшін нақты масштабқа инвариантты теорияны іздеу қажет, бұл алғаш рет 1965 жылы Покровский мен Паташинскийдің формалды теориялық аясында ұсынылғандай көрінеді. Универсалдылық – салыстырмалы түрде аз ғана масштабқа инвариантты теориялардың болуының салдары. Кез келген нақты физикалық жүйе үшін егжей-тегжейлі сипаттамада көптеген масштабқа тәуелді параметрлер мен ерекшеліктер болуы мүмкін. Дегенмен, фазалық өтуге жақындағанда масштабқа тәуелді параметрлердің маңыздылығы азаяды және физикалық сипаттаманың масштабқа инвариантты бөліктері басымдық алады. Сондықтан, осы жүйелердің сындық нүктеге жақын мінез-құлқына жуықтап келгенде, оңайлатылған және көбінесе дәл шешілетін модельді қолдануға болады. Перколяцияны кездейсоқ электр кедергілері желісі арқылы модельдеуге болады, онда электр тогы желінің бір жағынан екінші жағына ағып өтеді. Желідегі жалпы кедергі желідегі кедергілердің орташа байланыстылығымен сипатталады. Жарықтар мен сызақтардың пайда болуын электр сақтандырғыштарының кездейсоқ желісі арқылы модельдеуге болады. Электр тогының желі арқылы ағыны артқанда кейбір сақтандырғыштар жарылуы мүмкін, бірақ жалпы алғанда ток проблемалық аймақтарды айналып, біркелкі таралады. Бірақ, белгілі бір нүктеде (фазалық өту кезінде) каскадтық бұзушылық пайда болуы мүмкін, онда бір жарылған сақтандырғыштан артық ток келесі сақтандырғышты жүктемелеп, желінің екі жағы толығымен ажыратылып, ток ағыны тоқтағанша. Мұндай кездейсоқ желілік жүйелерді талдау үшін барлық мүмкін желілердің (яғни канондық жиынтықтың) стохастикалық кеңістігін қарастырып, барлық мүмкін желілік конфигурациялар бойынша қосындылау (интегралдау) жүргізіледі. Бұрынғы талқылаудағыдай, кездейсоқ конфигурация белгілі бір ықтималдық таралуымен сипатталатын барлық конфигурациялар жиынтығынан алынған деп түсініледі; таралудағы температураның рөлі әдетте желідегі орташа байланыстылықпен алмастырылады. Ағын жылдамдығы, жылу сыйымдылығы және т.б. сияқты операторлардың күтілетін мәндері барлық мүмкін конфигурациялар бойынша интегралдау арқылы алынады. Барлық мүмкін конфигурациялар бойынша интегралдаудың бұл әрекеті статистикалық механика мен кванттық өріс теориясындағы жүйелер арасындағы ортақ нүкте болып табылады. Атап айтқанда, қайта нормалау тобының тілі кездейсоқ желілік модельдерді талқылауға қолданылуы мүмкін. 1990 және 2000 жылдары статистикалық модельдер мен конформдық өріс теориясы арасындағы байланыстар күшейді. Универсалдылықты зерттеу маңызды зерттеу саласы болып қала береді.

One of the important developments in materials science in the 1970s and the 1980s was the realization that statistical field theory, similar to quantum field theory, could be used to provide a microscopic theory of universality The core observation was that, for all of the different systems, the behaviour at a phase transition is described by a continuum field, and that the same statistical field theory will describe different systems. The scaling exponents in all of these systems can be derived from the field theory alone, and are known as critical exponents. The key observation is that near a phase transition or critical point, disturbances occur at all size scales, and thus one should look for an explicitly scale invariant theory to describe the phenomena, as seems to have been put in a formal theoretical framework first by Pokrovsky and Patashinsky in 1965 Universality is a by product of the fact that there are relatively few scale invariant theories. For any one specific physical system, the detailed description may have many scale dependent parameters and aspects. However, as the phase transition is approached, the scale dependent parameters play less and less of an important role, and the scale invariant parts of the physical description dominate. Thus, a simplified, and often exactly solvable, model can be used to approximate the behaviour of these systems near the critical point. Percolation may be modeled by a random electrical resistor network, with electricity flowing from one side of the network to the other. The overall resistance of the network is seen to be described by the average connectivity of the resistors in the network
The formation of tears and cracks may be modeled by a random network of electrical fuses. As the electric current flow through the network is increased, some fuses may pop, but on the whole, the current is shunted around the problem areas, and uniformly distributed. However, at a certain point (at the phase transition) a cascade failure may occur, where the excess current from one popped fuse overloads the next fuse in turn, until the two sides of the net are completely disconnected and no more current flows
To perform the analysis of such random network systems, one considers the stochastic space of all possible networks (that is, the canonical ensemble), and performs a summation (integration) over all possible network configurations. As in the previous discussion, each given random configuration is understood to be drawn from the pool of all configurations with some given probability distribution; the role of temperature in the distribution is typically replaced by the average connectivity of the network
The expectation values of operators, such as the rate of flow, the heat capacity, and so on, are obtained by integrating over all possible configurations. This act of integration over all possible configurations is the point of commonality between systems in statistical mechanics and quantum field theory. In particular, the language of the renormalization group may be applied to the discussion of the random network models. In the 1990s and 2000s, stronger connections between the statistical models and conformal field theory were uncovered. The study of universality remains a vital area of research.

Басқа салаларға қолдану

Статистикалық механиканың басқа ұғымдары сияқты (мысалы, энтропия және бас теңдеулер), әмбебаптылық таратылған жүйелерді, мысалы, көп агенттік жүйелерді жоғары деңгейде сипаттауға көмектесетін пайдалы құрылым болып табылады. Бұл термин көп агенттік модельдеулерде қолданылады, онда жүйенің көрсеткен жүйелік деңгейдегі мінез-құлқы жеке агенттердің күрделілігіне тәуелді емес, тек олардың өзара әрекеттесуін анықтайтын шектеулердің сипатына байланысты болады. Желі динамикасында әмбебаптылық – көптеген егжей-тегжейлі айырмашылықтары бар сызықты емес динамикалық модельдердің алуан түрлілігіне қарамастан, көптеген жүйелердің байқалатын мінез-құлқы әмбебап заңдар жиынтығына бағынатынын білдіреді. Бұл заңдар әрбір жүйенің нақты ерекшеліктеріне тәуелсіз.