Универсальность в статистической механике и физике конденсированного состояния.

Введение

В статистической механике универсальность – это наблюдение, что для большого класса систем существуют свойства, не зависящие от динамических деталей системы. Системы проявляют универсальность в пределе масштабирования, когда взаимодействуют большое количество составляющих частей. Современное значение термина было введено Лео Каданоффом в 1960-х годах, однако более простая версия этой концепции уже содержалась в уравнении Ван-дер-Ваальса и в более ранней теории Ландау о фазовых переходах, которая не учитывала масштабирование корректно. Термин постепенно находит более широкое применение в различных областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятностей, когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) можно вывести из небольшого числа глобальных параметров, присутствующих в определении, без необходимости знания деталей системы. Группа перенормировки предоставляет интуитивно понятное, хотя и математически нестрогое, объяснение универсальности. Она классифицирует операторы в статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Релевантные операторы ответственны за возмущения свободной энергии и лагранжиана в мнимом времени, которые влияют на континуальный предел и проявляются на больших расстояниях. Нерелевантные операторы изменяют лишь детали на малых расстояниях. Совокупность статистических теорий, инвариантных относительно масштабирования, определяет классы универсальности, а конечномерный список коэффициентов релевантных операторов параметризует поведение вблизи критической точки.

Примеры

Универсальность получила свое название благодаря тому, что она наблюдается в широком разнообразии физических систем. Примеры универсальности включают:

Лавины в песчаных кучах. Вероятность лавины пропорциональна размеру лавины в степенном законе, и лавины возникают во всех масштабах. Это явление называется "самоорганизованной критичностью". Формирование и распространение трещин и разрывов в материалах, от стали до камня и бумаги. Изменения направления разрыва или шероховатость поверхности излома подчиняются степенному закону в зависимости от масштаба. Электрический пробой диэлектриков, который аналогичен образованию трещин и разрывов. Просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые горные породы или вода через фильтровальную бумагу, например, при хроматографии. Зависимость скорости потока от распределения трещин описывается степенным законом. Диффузия молекул в растворе и явление диффузионно-ограниченной агрегации. Распределение частиц разного размера в смеси, которая встряхивается под действием силы тяжести. Появление критической опалесценции в жидкостях вблизи точки фазового перехода.

Теоретический обзор

Одним из важных достижений в области материаловедения в 1970-х и 1980-х годах стало осознание того, что статистическая теория поля, аналогичная квантовой теории поля, может быть использована для построения микроскопической теории универсальности. Основное наблюдение заключалось в том, что для всех различных систем поведение вблизи фазового перехода описывается непрерывным полем, и что одна и та же статистическая теория поля описывает разные системы. Масштабные показатели во всех этих системах могут быть выведены непосредственно из теории поля и известны как критические показатели. Ключевое наблюдение состоит в том, что вблизи фазового перехода или критической точки возникают возмущения во всех масштабах, и, следовательно, следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания явлений, как, по-видимому, впервые было формализовано Покровским и Паташинским в 1965 году. Универсальность является следствием того, что существует относительно немного масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы детальное описание может включать множество параметров и аспектов, зависящих от масштаба. Однако по мере приближения к фазовому переходу параметры, зависящие от масштаба, играют все меньшую роль, а масштабно-инвариантные части физического описания становятся доминирующими. Таким образом, упрощенная, и часто точно решаемая, модель может быть использована для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки. Процесс перколяции может быть смоделирован случайной сетью электрических резисторов, по которой электричество течет с одной стороны сети на другую. Общее сопротивление сети определяется средней связностью резисторов в сети. Образование разрывов и трещин может быть смоделировано случайной сетью электрических предохранителей. При увеличении электрического тока через сеть некоторые предохранители могут перегорать, но в целом ток обходит проблемные участки и распределяется равномерно. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) может произойти каскадный отказ, когда избыточный ток от перегоревшего предохранителя перегружает следующий, пока две стороны сети полностью не разъединятся и ток не прекратится. Для анализа таких случайных сетевых систем рассматривается стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль) и выполняется суммирование (интегрирование) по всем возможным конфигурациям сети. Как и в предыдущем обсуждении, каждая заданная случайная конфигурация считается взятой из множества всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети. Ожидаемые значения операторов, таких как скорость потока, теплоемкость и так далее, получаются путем интегрирования по всем возможным конфигурациям. Этот акт интегрирования по всем возможным конфигурациям является общим для систем в статистической механике и квантовой теории поля. В частности, язык группы перенормировки может быть применен к обсуждению случайных сетевых моделей. В 1990-х и 2000-х годах были обнаружены более тесные связи между статистическими моделями и конформной теорией поля. Изучение универсальности остается важной областью исследований.

One of the important developments in materials science in the 1970s and the 1980s was the realization that statistical field theory, similar to quantum field theory, could be used to provide a microscopic theory of universality The core observation was that, for all of the different systems, the behaviour at a phase transition is described by a continuum field, and that the same statistical field theory will describe different systems. The scaling exponents in all of these systems can be derived from the field theory alone, and are known as critical exponents. The key observation is that near a phase transition or critical point, disturbances occur at all size scales, and thus one should look for an explicitly scale invariant theory to describe the phenomena, as seems to have been put in a formal theoretical framework first by Pokrovsky and Patashinsky in 1965 Universality is a by product of the fact that there are relatively few scale invariant theories. For any one specific physical system, the detailed description may have many scale dependent parameters and aspects. However, as the phase transition is approached, the scale dependent parameters play less and less of an important role, and the scale invariant parts of the physical description dominate. Thus, a simplified, and often exactly solvable, model can be used to approximate the behaviour of these systems near the critical point. Percolation may be modeled by a random electrical resistor network, with electricity flowing from one side of the network to the other. The overall resistance of the network is seen to be described by the average connectivity of the resistors in the network
The formation of tears and cracks may be modeled by a random network of electrical fuses. As the electric current flow through the network is increased, some fuses may pop, but on the whole, the current is shunted around the problem areas, and uniformly distributed. However, at a certain point (at the phase transition) a cascade failure may occur, where the excess current from one popped fuse overloads the next fuse in turn, until the two sides of the net are completely disconnected and no more current flows
To perform the analysis of such random network systems, one considers the stochastic space of all possible networks (that is, the canonical ensemble), and performs a summation (integration) over all possible network configurations. As in the previous discussion, each given random configuration is understood to be drawn from the pool of all configurations with some given probability distribution; the role of temperature in the distribution is typically replaced by the average connectivity of the network
The expectation values of operators, such as the rate of flow, the heat capacity, and so on, are obtained by integrating over all possible configurations. This act of integration over all possible configurations is the point of commonality between systems in statistical mechanics and quantum field theory. In particular, the language of the renormalization group may be applied to the discussion of the random network models. In the 1990s and 2000s, stronger connections between the statistical models and conformal field theory were uncovered. The study of universality remains a vital area of research.

Применение в других областях

Как и другие понятия статистической механики (такие как энтропия и уравнения главного состояния), универсальность оказалась полезным инструментом для описания распределенных систем на более высоком уровне, например, многоагентных систем. Этот термин применяется к многоагентному моделированию, где системное поведение, демонстрируемое системой, не зависит от сложности отдельных агентов, а определяется почти исключительно характером ограничений, управляющих их взаимодействием. В динамике сетей универсальность означает, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, различающихся во многих деталях, наблюдаемое поведение множества различных систем подчиняется набору универсальных законов. Эти законы не зависят от специфических особенностей каждой системы.