Кіріспе
Екі кіші топтан топ құру тәсілдері
Математикада, егер топ кіші топтар арқылы туындаса және олардың қиылысы тривиальды болса, онда G тобы екі қалыпты кіші топтың тікелей қосындысы деп аталады. Абстракт алгебрада топтарды құрудың бұл әдісін векторлық кеңістіктердің, модульдердің және басқа да құрылымдардың тікелей қосындыларына кеңейтуге болады; толық ақпарат алу үшін модульдердің тікелей қосындысы туралы мақаланы қараңыз. Кіші топтардың тікелей қосындысы түрінде жазыла алатын топтар бөлiнетiн топтар деп аталады, ал мұндай тікелей қосынды түрінде жазылмайтын топтар бөлiнбейтiн топтар деп аталады.
Тікелей айыппұл салу
Берілген топта , егер басқа топтың ішінде топ болса, онда оны тікелей қосылғыш деп айтамыз, егер осындай топ табылатын болса:
Абельдік топтарда, егер -тің бөлінетін ішкі тобы болса, онда - тікелей қосылғыш болады.
In abelian groups, if is a divisible subgroup of , then is a direct summand of .
Мысалдар
Егер Абелдік топтың бөлінбейтін кіші тобы болса, онда оның басқа бір кіші тобы бар, осы топтың ішінде, осындай . Егер де векторлық кеңістік құрылымы болса, онда оны тікелей қосындысы ретінде жазуға болады және басқа бір кіші кеңістік бөлшектің изоморфты болады.
If is a divisible subgroup of an abelian group then there exists another subgroup of such that If also has a vector space structure then can be written as a direct sum of and another subspace that will be isomorphic to the quotient .
Сансыз жиындардағы сомаларға жалпылау
Жоғарыда аталған қасиеттерді сипаттау үшін, егер G шексіз (мүмкін, санауға келмейтін) кіші топтар жиынының тікелей қосындысы болса, көбірек назар қажет. Егер g – топтар жиынының Картезиялық көбейтіндісінің Π{Hi} элементі болса, онда gi – көбейтіндідегі g-нің i-інші элементі болады. {Hi} топтары жиынының сыртқы тікелей қосындысы (ΣE{Hi} деп белгіленеді) – Π{Hi} жиынының ішкі жиыны, онда, ΣE{Hi} жиынының әрбір g элементі үшін, gi-дің тек шекті саны ғана бірлік элементке тең болады (әйтпесе, тек шекті саны ғана бірлік элементке тең емес). Сыртқы тікелей қосындыдағы топтық амал, әдеттегі тікелей көбейтіндідегідей, нүктелік көбейту болып табылады. Бұл ішкі жиын нағыз топты құрайды, ал {Hi} топтарының шекті жиыны үшін сыртқы тікелей қосынды тікелей көбейтіндіге тең. Егер G = ΣHi болса, онда G, ΣE{Hi} -ға изоморфты. Осылайша, белгілі бір мағынада, тікелей қосынды – «ішкі» сыртқы тікелей қосынды болып табылады. G-дегі әрбір g элементі үшін, бірегей шекті жиын S және {hi ∈ Hi : i ∈ S} жиыны бар, сондықтан g = Π {hi : i ∈ S}.