Введение

Способы построения группы из двух подгрупп

В математике группа G называется прямой суммой двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением, если она порождена этими подгруппами. В абстрактной алгебре этот метод построения групп может быть обобщён на прямые суммы векторных пространств, модулей и других структур; подробнее см. статью «Прямая сумма модулей». Группа, которую можно представить в виде прямой суммы нетривиальных подгрупп, называется разложимой, а группа, которую нельзя представить в таком виде, — неразложимой.

Прямая приговор

Если дана группа G, мы говорим, что подгруппа H является прямым слагаемым группы G, если существует другая подгруппа K группы G такая, что G = H ⊕ K. В абелевых группах, если H является делимой подгруппой G, то H является прямым слагаемым G.

Примеры

Если мы возьмем, то становится ясно, что является прямым произведением подгрупп. Если является делимой подгруппой абелевой группы , то существует другая подгруппа такая, что . Если также имеет структуру векторного пространства, то может быть записана как прямая сумма и другого подпространства , которое будет изоморфно факторгруппе .

Обобщение сумм на бесконечных множествах

Чтобы описать вышеуказанные свойства в случае, когда G является прямой суммой бесконечного (возможно, неисчислимого) множества подгрупп, требуется большая осторожность. Если g является элементом декартова произведения Π{Hi} множества групп, пусть gi будет i-м элементом g в этом произведении. Внешняя прямая сумма множества групп {Hi} (обозначаемая как ΣE{Hi}) – это подмножество Π{Hi}, где для каждого элемента g из ΣE{Hi} все gi, кроме конечного числа, равны единичному элементу (эквивалентно, только конечное число gi не равно единичному элементу). Групповая операция во внешней прямой сумме – это поточечное умножение, как и в обычном прямом произведении. Это подмножество действительно образует группу, и для конечного множества групп {Hi} внешняя прямая сумма совпадает с прямым произведением. Если G = ΣHi, то G изоморфна ΣE{Hi}. Таким образом, в определенном смысле прямая сумма является "внутренней" внешней прямой суммой. Для каждого элемента g в G существует единственное конечное множество S и единственное множество {hi ∈ Hi : i ∈ S} такое, что g = Π {hi : i ∈ S}.