Жақындасқан топтардағы (B, N) жұптары және Тиц жүйелері
(B, N) pair
(B, N) жұптары – Lie топтарындағы құрылым, нәтижелерді біркелкі дәлелдеуге көмектеседі. Ж. Титс енгізген, топтардың жалпы сызықтық топқа ұқсас екенін көрсетеді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада (B, N) жұп – Lie типіндегі топтардағы құрылым, ол көптеген нәтижелерді жеке-жеке дәлелдеудің орнына біркелкі түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді. Шамамен айтқанда, бұл барлық осындай топтардың өріс үстіндегі жалпы сызықтық топқа ұқсас екенін көрсетеді. Оларды математик Жак Титс енгізді, және олар кейде Титс жүйелері деп те аталады.
In mathematics, a (B, N) pair is a structure on groups of Lie type that allows one to give uniform proofs of many results, instead of giving a large number of case by case proofs. Roughly speaking, it shows that all such groups are similar to the general linear group over a field. They were introduced by the mathematician Jacques Tits, and are also sometimes known as Tits systems.
Брухаттың ыдырауы
Брухат ыдырауы G = BWB деп тұжырымдайды. Нақтырақ айтқанда, B\G/B екі жақты косеттері W-нің N-ге көтерілулерінің жиынымен өрнектеледі.
The Bruhat decomposition states that G = BWB. More precisely, the double cosets B\G/B are represented by a set of lifts of W to N.
Параболалық кіші топтар
Әрбір параболалық кіші топ G-дегі өзінің нормализаторына тең.
Every parabolic subgroup equals its normalizer in G.
Кез келген стандартты парабола S жиынының кейбір X кіші жиыны үшін BW(X)B түрінде болады, мұнда W(X) X-тің тудырған Коксетер кіші тобын білдіреді. Екі стандартты параболалардың жиындары X бірдей болса және тек сонда ғана конъюгат болады. Сондықтан S жиынының кіші жиындары мен стандартты параболалар арасында біржақты сәйкестік бар. Көбірек айтқанда, бұл сәйкестік параболалық кіші топтардың конъюгация кластарына дейін кеңейтіледі.
Every standard parabolic is of the form BW(X)B for some subset X of S, where W(X) denotes the Coxeter subgroup generated by X. Moreover, two standard parabolics are conjugate if and only if their sets X are the same. Hence there is a bijection between subsets of S and standard parabolics. More generally, this bijection extends to conjugacy classes of parabolic subgroups.
Титс қарапайымдылық теоремасы
БН жұптарын Ли типті көптеген топтардың орталықтары бойынша қарапайым екенін дәлелдеуге болады. Нақтырақ айтқанда, егер G-де BN жұбы болса, онда B шешімді топ, B-ның барлық конъюгаттарының қиылысы тривиальды, және W генераторларының жиыны екі бос емес, бірін-бірімен коммутациялайтын жиынға жіктелмейтін болса, онда G толық топ болғанда қарапайым болады. Іс жүзінде, G толық болуынан басқа барлық шарттарды тексеру оңай. G толық екенін тексеруге кейбір қиын есептеулер қажет (іс жүзінде, Ли типті бірнеше кіші топтар толық емес). Бірақ топтың толық екенін көрсету, оны қарапайым екенін көрсетуге қарағанда әдетте әлдеқайда оңай.
BN pairs can be used to prove that many groups of Lie type are simple modulo their centers. More precisely, if G has a BN pair such that B is a solvable group, the intersection of all conjugates of B is trivial, and the set of generators of W cannot be decomposed into two non empty commuting sets, then G is simple whenever it is a perfect group. In practice all of these conditions except for G being perfect are easy to check. Checking that G is perfect needs some slightly messy calculations (and in fact there are a few small groups of Lie type which are not perfect). But showing that a group is perfect is usually far easier than showing it is simple.