Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, пара (B, N) — это структура на группах типа Ли, позволяющая приводить унифицированные доказательства для множества результатов, вместо большого числа доказательств, рассматриваемых отдельно для каждого случая. Говоря упрощенно, она показывает, что все такие группы подобны общей линейной группе над полем. Впервые они были введены математиком Жаком Титсом и также иногда называются системами Титса.
In mathematics, a (B, N) pair is a structure on groups of Lie type that allows one to give uniform proofs of many results, instead of giving a large number of case by case proofs. Roughly speaking, it shows that all such groups are similar to the general linear group over a field. They were introduced by the mathematician Jacques Tits, and are also sometimes known as Tits systems.
Разложение брухата
Разложение Брухата утверждает, что G = BWB. Более точно, двойные классы B\G/B представляются набором поднятий элементов W в N.
The Bruhat decomposition states that G = BWB. More precisely, the double cosets B\G/B are represented by a set of lifts of W to N.
Параболические подгруппы
Каждая параболическая подгруппа равна своему нормализатору в G.
Every parabolic subgroup equals its normalizer in G.
Каждая стандартная параболическая подгруппа имеет вид BW(X)B для некоторого подмножества X множества S, где W(X) обозначает подгруппу Коксетера, порожденную X. Более того, две стандартные параболические подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда их множества X совпадают. Следовательно, существует биекция между подмножествами S и стандартными параболическими подгруппами. В более общем случае, эта биекция расширяется на классы сопряженности параболических подгрупп.
Every standard parabolic is of the form BW(X)B for some subset X of S, where W(X) denotes the Coxeter subgroup generated by X. Moreover, two standard parabolics are conjugate if and only if their sets X are the same. Hence there is a bijection between subsets of S and standard parabolics. More generally, this bijection extends to conjugacy classes of parabolic subgroups.
Теорема простоты Титса
Парами БН можно доказать, что многие группы типа Ли просты по своему центру. Более точно, если у группы G есть BN-пара, такая что B — разрешимая группа, пересечение всех сопряженных с B подгрупп тривиально, и множество образующих W нельзя разложить на два непустых коммутирующих множества, то G проста, когда она является совершенной группой. На практике все эти условия, кроме совершенства G, легко проверить. Проверка того, что G совершенна, требует некоторых довольно сложных вычислений (и на самом деле существуют небольшие группы типа Ли, которые не являются совершенными). Однако показать, что группа совершенна, обычно намного проще, чем показать, что она проста.
BN pairs can be used to prove that many groups of Lie type are simple modulo their centers. More precisely, if G has a BN pair such that B is a solvable group, the intersection of all conjugates of B is trivial, and the set of generators of W cannot be decomposed into two non empty commuting sets, then G is simple whenever it is a perfect group. In practice all of these conditions except for G being perfect are easy to check. Checking that G is perfect needs some slightly messy calculations (and in fact there are a few small groups of Lie type which are not perfect). But showing that a group is perfect is usually far easier than showing it is simple.