Кіріспе

Пошта қызметі компаниясы. Математикада, пин тобы – квадрат кеңістігіне қатысты Клиффорд алгебрасының белгілі бір кіші тобы. Ол 2-ге 1-ге ортогональды топқа, спин тобы дәл солай 2-ге 1-ге арнайы ортогональды топқа бейнелейді. Жалпы, пин тобынан ортогональды топқа бейнелеу сюръективті де, әмбебап жабатын кеңістік те емес, бірақ егер квадраттық форма анықталған болса (және өлшемі 2-ден үлкен болса), ол екеуі де болады. Ядроның тривиальды емес элементі деп белгіленеді, оны бастапқы нүкте арқылы шағылыстың ортогональды түрлендіруімен шатастырмау керек, әдетте деп белгіленеді.

Жалпы анықтама

Бейнеленбеген квадраттық формасы бар векторлық кеңістік болсын. Пин тобы — Клиффорд алгебрасының , формасының элементтерінен тұратын ішкі жиын, мұндағы векторлар осындай шартты қанағаттандырады. Спин тобы ұқсас анықталады, бірақ тек жұп векторлармен шектеледі; ол пин тобының ішкі тобы болып табылады. Бұл мақалада әрқашан нақты векторлық кеңістік болады. Егер векторлық кеңістіктің негіздік векторлары шарттарын қанағаттандырса, онда пин тобы Pin(p, q) деп белгіленеді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, векторлары үшін , — гипержазықтыққа ортогоналды вектордың көрісі. Жалпы алғанда, пин тобының элементі векторларға k көрістің құрамы арқылы әрекет етеді. Кез келген ортогональды түрлендіруді көрістің құрамы ретінде көрсетуге болады (Картан–Диодонне теоремасы), сондықтан пин тобының бұл бейнелеуі пин тобынан ортогональды топқа гомоморфизм болып табылады. Бұл көбінесе бұрылған қосымша бейнелеу деп аталады. Пин тобының ±1 элементтері — бұл бірлікке бейнеленетін элементтер, ал O(p, q) тобының әрбір элементі Pin(p, q) тобының дәл екі элементіне сәйкес келеді.

Белгілі бір форма

Белгілі бір пішіндегі тікұшақ тобы тікұшақ топқа бейнеленеді, және әрбір компонент жай ғана байланысты (3 өлшемде және одан жоғары): ол тікұшақ топты екі рет жабады. Оң анықталған квадраттық форма Q үшін және оның теріс -Q үшін тікұшақ топтары изоморфты емес, бірақ ортогональды топтар изоморфты. Стандартты түрі тұрғысынан алғанда, O(n, 0) = O(0, n), бірақ Pin(n, 0) және Pin(0, n) әдетте изоморфты емес. Клиффорд алгебрасы үшін "+" белгісін қолдана отырып (мұнда ), мынаны жазамыз:

және бұл екеуі де O(n) = O(n, 0) = O(0, n) топтарына бейнеленеді. Керісінше, Spin(n, 0) ≅ Spin(0, n) табиғи изоморфизмі бар, және екеуі де арнайы ортогональды топ SO(n) үшін (бірден-бір) тривиальды емес екі рет жабу, ал бұл n ≥ 3 үшін (бірден-бір) әмбебап жабу болып табылады.

Белгісіз нысан

O(p, q) үшін, p, q ≠ 0, сегіз түрлі қос жабын бар, олар ортаның (C2 × C2 немесе C4 болатын) C2 арқылы кеңейтілуіне сәйкес келеді. Олардың тек екеуі ғана - Клиффорд алгебрасын өрнектеуге мүмкіндік беретін пин топтары. Олар сәйкесінше Pin(p, q) және Pin(q, p) деп аталады.

Топологиялық топ ретінде

Әрбір байланысқан топологиялық топта топологиялық кеңістік ретінде бірегей әмбебап жамылғысы бар, оның негізгі топтың орталық кеңейтілуі ретінде бірегей топтық құрылымы бар. Байланыссыз топологиялық топ үшін топтың сәйкестік компонентінің бірегей әмбебап жамылғысы бар, ал қалған компоненттерде сол жамылғыны топологиялық кеңістік ретінде қолдануға болады (олар сәйкестік компоненті үшін негізгі біртекті кеңістіктер болып табылады), бірақ басқа компоненттердегі топтық құрылым әдетте бірегей анықталмайды. Pin және Spin топтары – Клиффорд алгебраларынан туындаған ортогоналдық және арнайы ортогоналдық топтармен байланысты нақты топологиялық топтар: басқа ұқсас топтар да бар, олар басқа екі еселі жамылғыларға немесе басқа компоненттердегі басқа топтық құрылымдарға сәйкес келеді, бірақ олар Pin немесе Spin топтары деп атаылмайды және олар көп зерттелмейді. 2001 жылы Анджей Траутман O(p) x O(q) –ның барлық 32 тең емес екі еселі жамылғысының жиынтығын, O(p, q) –ның ең үлкен ықшам кіші тобын және сол топтың 8 екі еселі жамылғысының нақты құрылымын тапты.

Орталығы

Егер ортасы болса, онда , және болса, онда ортасы болса, онда , және болса.

Атауы

Атау алғаш рет 1998 жылы қолданылған, онда "Бұл әзіл J. P. Serre-ге қатысты" делінген. Бұл Spin сөзінен кері жасалған түрі: "Pin, O(n) үшін не нәрсе болса, Spin, SO(n) үшін сондай", сондықтан "Spin" сөзінен "S" әрпін алып тастағанда "Pin" сөзі шығады.