Введение

В математике, группа Пин — это определённая подгруппа алгебры Клиффорда, связанная с квадратичным пространством. Она отображает пространство вдвое на ортогональную группу, подобно тому, как спиновая группа отображает пространство вдвое на специальную ортогональную группу. В общем случае отображение из группы Пин в ортогональную группу не является сюръективным и не является универсальным накрывающим пространством, но если квадратичная форма является определённой (и размерность больше 2), то оно обладает обоими этими свойствами. Нетривиальный элемент ядра обозначается , что не следует путать с ортогональным преобразованием отражения относительно начала координат, обычно обозначаемым .

Общее определение

Пусть $V$ – векторное пространство с невырожденной квадратичной формой. Группа пинов Pin($V$) – это подмножество алгебры Клиффорда Cl($V$), состоящее из элементов вида $v_0 + v_1 e_1 + \dots + v_n e_n$, где $v_i$ – векторы, и $e_i$ – образующие алгебры Клиффорда. Группа спинов Spin($V$) определяется аналогично, но с ограничением, что все $v_i$ являются четными элементами; это подгруппа группы пинов. В этой статье $V$ всегда является вещественным векторным пространством. Если $V$ имеет базисные векторы $e_1, \dots, e_n$, удовлетворяющие условиям $e_i^2 = \pm 1$ и $e_i e_j = -e_j e_i$ для $i \neq j$, то группа пинов обозначается Pin(p, q). Геометрически, для векторов $x$ с $|x|^2 \neq 0$, элемент $x$ является отражением вектора $v$ относительно гиперплоскости, ортогональной к $x$. В более общем случае, элемент $g$ группы пинов действует на векторы, преобразуя $v$ в $g v g^{-1}$, что является композицией $k$ отражений. Поскольку каждое ортогональное преобразование может быть выражено как композиция отражений (теорема Картана — Диодонне), следует, что это представление группы пинов является гомоморфизмом из группы пинов на ортогональную группу. Это часто называют скрученным сопряженным представлением. Элементы $\pm 1$ группы пинов – это элементы, которые отображаются в тождественный элемент, и каждому элементу O(p, q) соответствует ровно два элемента Pin(p, q).

Определенная форма

Группа пинов определенной формы отображается на ортогональную группу, и каждая компонента просто связна (в размерности 3 и выше): она является двулистным накрытием ортогональной группы. Группы пинов для положительно определенной квадратичной формы Q и для ее отрицательной −Q не изоморфны, в то время как ортогональные группы изоморфны. В терминах стандартных форм, O(n, 0) = O(0, n), но Pin(n, 0) и Pin(0, n) в общем случае не изоморфны. Используя соглашение о знаке "+" для алгебр Клиффорда (где ), можно записать

и обе они отображаются на O(n) = O(n, 0) = O(0, n). В отличие от этого, существует естественный изоморфизм Spin(n, 0) ≅ Spin(0, n), и оба они являются (единственным) нетривиальным двулистным накрытием специальной ортогональной группы SO(n), которая является (единственным) универсальным накрытием для n ≥ 3.

Неопределенная форма

Существует целых восемь различных двойных накрытий O(p, q), для p, q ≠ 0, которые соответствуют расширениям центра (который является либо C₂ × C₂ или C₄) посредством C₂. Только две из них являются группами Пина — те, которые допускают алгебру Клиффорда как представление. Они называются Pin(p, q) и Pin(q, p) соответственно.

Как топологическая группа

Каждая связная топологическая группа имеет единственное универсальное накрытие как топологическое пространство, которое имеет единственную групповую структуру в виде центрального расширения по фундаментальной группе. Для несвязной топологической группы существует единственное универсальное накрытие компоненты единицы группы, и можно использовать то же накрытие как топологические пространства для остальных компонент (которые являются главными однородными пространствами для компоненты единицы), но групповая структура на остальных компонентах в общем случае не определяется однозначно. Группы Pin и Spin являются особыми топологическими группами, связанными с ортогональными и специальными ортогональными группами и происходящими из алгебр Клиффорда: существуют другие подобные группы, соответствующие другим двойным накрытиям или другим групповым структурам на остальных компонентах, но они не называются группами Pin или Spin и мало изучаются. В 2001 году Анджей Траутман нашёл множество всех 32 неэквивалентных двойных покрытий O(p) × O(q), максимальной компактной подгруппы O(p, q), и явное построение 8 двойных покрытий той же группы O(p, q).

Центр

Предположим, центр равен когда , а когда . Центр равен когда , а когда .

Имя

Название было введено в , где указано: "Эта шутка принадлежит J. P. Serre". Оно образовано обратным способом от Spin: "Pin относится к O(n) так же, как Spin относится к SO(n)", поэтому, отбросив "S" от "Spin", получаем "Pin".