Кіріспе
Математиканың гомологиялық алгебра саласындағы t-құрылым – туынды категорияның абельдік субкатегориясының қасиеттерін аксиомалау тәсілі. Т-құрылым үшбұрышты категорияның немесе тұрақты шексіз категорияның екі кіші санатынан тұрады, олар оң, тиісінше теріс дәрежеде кохомологиясы жоғалатын кешендер идеясын абстракциялайды. Бір санатта көптеген түрлі t-құрылымдары болуы мүмкін, ал осы құрылымдардың өзара әрекеттесуі алгебра мен геометрияға әсер етеді. Т-құрылым туралы түсінік Бейлинсон, Бернштейн, Делинье және Габбердің перверстік қаптамалар туралы жұмысында пайда болды. Анықтама. Аудармалық функторы бар үшбұрышты категориядағы t-құрылым – әрқайсысы изоморфизм бойынша тұрақты болатын екі толық кіші санаттың жұбы, олар келесі үш аксиоманы қанағаттандырады. Егер X – нысан болса, Y – нысан болса, онда X[1] да нысан болады. Сол сияқты, егер Y – нысан болса, онда Y[1] да нысан болады. Егер A – нысан болса, онда X – нысан және Y – нысан болатын ерекше үшбұрыш бар. Т-құрылымын таңдаған үшбұрышты категория кейде t-категориясы деп аталады. Түрлендірулер. Т-құрылымын анықтау үшін m және n бүтін сандарын бекіту және екі кіші санатты анықтау жеткілікті. Кейбір авторлар t-құрылымды осы екі кіші санаттың жұбы ретінде анықтайды. Екі кіші санат бір-бірін анықтайды. X нысаны кіші санатта орналасқан, тек егер барлық Y нысандары үшін болса, және керісінше. Яғни, бұл кіші санаттар бір-біріне сол және оң ортогональды толықтырулар болып табылады. Нәтижесінде, олардың біреуін ғана анықтау жеткілікті, сондай-ақ, бұл кіші санаттар анықтамасы бойынша толық болғандықтан, олардың нысандарын анықтау жеткілікті. Жоғарыдағы жазу кохомологияны зерттеуге бейімделген. Гомологияны зерттеу мақсаты болған кезде, аздап басқаша жазу қолданылады. Гомологиялық t-құрылым – бұл жұп, егер біз анықтасақ, онда ол (комологиялық) t-құрылым болады. Яғни, анықтама бірдей, бірақ жоғары индекстер төменгі индекстерге ауысады және кіші санаттардың рөлдері ауыстырылады. Егер біз біртекті t-құрылымы үшін аксиомаларды анықтасақ, онда олар: Егер X – нысан болса, Y – нысан болса, онда және егер A – нысан болса, онда X – нысан және Y – нысан болатын ерекше үшбұрыш бар. Т-құрылымының жүрегі – екі кіші санатта да орналасқан нысандардан тұратын толық кіші санат, яғни. Т-құрылымының жүрегі – абельдік категория (ал үшбұрышты категория қосымша, бірақ көбінесе абельдік емес), және ол кеңейтулер бойынша тұрақты. Үшбұрышты категорияда t-құрылымы таңдалған жағдайда, оны кейде t-категориясы деп атайды. Мысалдар. Табиғи t-құрылым. Т-құрылымының ең негізгі мысалы – туынды категориядағы табиғи t-құрылым. Абельдік категория және оның туындысы болсын. Бұл жағдайда t-құрылымы үшін үшінші аксиома, белгілі бір ерекше үшбұрыш бар екендігі, келесідей нақты болуы мүмкін. Егер комплекс тізбекті комплекс болса, онда және комплекстердің қысқа дәл тізбегі бар. Бұл дәл тізбек қажетті ерекше үшбұрышқа ие болады. Бұл мысалды нақты санаттарға (Квиленнің мағынасында) жалпылауға болады. Сондай-ақ, шектелген, жоғары шектелген және төмен шектелген туынды санаттар үшін ұқсас t-құрылымдары бар. Егер абельдік субкатегория болса, онда оның толық субкатегориясы, онда оның кохомологиясы, оның жүрегі перверстік қаптамалар. Перверстік қаптамалар категориясы, анықтамасы бойынша, перверстік t-құрылымының өзегі болып табылады. қаптамалар күрделі аналитикалық кеңістікте X немесе (l адикалық қаптамалармен жұмыс істеу) шекті өрісте алгебралық түрлендіру. Жоғарыда түсіндірілгендей, стандартты t-құрылымының жүрегінде жай ғана 0 дәрежеде шоғырланған кешендер ретінде қарастырылатын қарапайым топтар бар. Мысалы, (мүмкін біртекті) алгебралық қисық X (немесе ұқсас біртекті болуы мүмкін бетке) бұрмалы қаптамалар категориясы, атап айтқанда, нысан нысандарын қамтиды, онда нүкте кіруі, қарапайым қаптама, тегіс ашық қосалқы схема және U-де жергілікті тұрақты қаптама. Z және U өлшемдеріне сәйкес ауытқудың болуына назар аударыңыз. Бұл ауысу перверстік қаптардың категориясының жеке кеңістіктерде жақсы жүріп-тұруына әкеледі. Бұл санаттағы қарапайым объектілер – жергілікті жүйедегі коэффициенттері бар субварианттардың қиылысу кохомологиясы. Бұл t-құрылымын Бейлинсон, Бернштейн және Делинье енгізді. Бейлинсон жүректің туынды санаты шын мәнінде қаптардың бастапқы туынды санатына тең екенін көрсетті. Бұл үшбұрышты категорияда бірнеше ерекше t-құрылымдары болуы мүмкін деген жалпы фактіге мысал. Градицияланған модульдер. Градицияланған сақинадағы (градицияланған) модульдердің туынды санатындағы t-құрылымының стандартты емес мысалы, оның жүрегі комплекстерден тұрады, мұнда оның (градицияланған) n дәрежесімен құрылған модуль. Геометриялық t-құрылымы деп аталатын бұл t-құрылымы Козульдің дуалдығында маңызды рөл атқарады. Спектрлер. Спектрлер категориясы жоғарыдағы мағынада бір нысанмен, атап айтқанда сфералық спектрмен туындаған t-құрылымымен жабдықталған. категориясы – бұл байланысты спектрлер категориясы, яғни олардың теріс гомотопиялық топтары жоғалатын спектрлер. Гомотопия теориясымен байланысты салаларда комологиялық конвенцияларға қарамастан, гомологиялық конвенцияларды қолдану қалыпты, сондықтан бұл жағдайда «» (үстін сызық) «» (астын сызық)пен ауыстыру қалыпты. Бұл конвенцияны қолдана отырып, байланысты спектрлер категориясы деп белгіленеді. Мотивтер. Мотивтер теориясындағы болжамды мысал – аталатын мотивтік t-құрылым. Оның (болжамды) болуы алгебралық циклдар және жоғалу болжамдары туралы белгілі бір стандартты болжамдармен тығыз байланысты, мысалы, Бейлинсон-Соуль болжамы. Тринкациялық функторлар. Жоғарыдағы табиғи t-құрылым мысалында, үшінші аксиомадағы ерекше үшбұрыш бар екендігі тринкация арқылы құрылды. Комплекстер категориясындағы операциялар ретінде тринкациялар функторлық болып табылады, ал нәтижедегі комплекстердің қысқа дәл тізбегі нысанға қатысты табиғи болады. Бұл қолданылса, тринкациялық функторлар туынды категорияда бар екенін және олардың табиғи ерекше үшбұрышты тудыратынын көрсетуге болады. Шындығында, бұл жалпы құбылысқа мысал. Т-құрылым үшін аксиомалар тринкациялық функторлардың болуын талап етпесе де, оларды әрқашан құруға болады және олар негізінен бірегей. Егер үшбұрышты категория және t-құрылым болса, онда нақты мәлімдеме кіріктіру функторларына қосымшалар бар екендігі болып табылады. Бұл функторлар барлық нысандар үшін бірегей және бірегей.
Fix a triangulated category with translation functor A t structure on is a pair of full subcategories, each of which is stable under isomorphism, which satisfy the following three axioms. If X is an object of and Y is an object of , then
If X is an object of , then X[1] is also an object of Similarly, if Y is an object of , then Y[ 1] is also an object of If A is an object of , then there exists a distinguished triangle such that X is an object of and Y is an object of It can be shown that the subcategories and are closed under extensions in In particular, they are stable under finite direct sums. Suppose that is a t structure on In this case, for any integer n, we define to be the full subcategory of whose objects have the form , where is an object of Similarly, is the full subcategory of objects , where is an object of More briefly, we define
With this notation, the axioms above may be rewritten as:
If X is an object of and Y is an object of , then
and If A is an object of , then there exists a distinguished triangle such that X is an object of and Y is an object of
The heart or core of the t structure is the full subcategory consisting of objects contained in both and , that is,
The heart of a t structure is an abelian category (whereas a triangulated category is additive but almost never abelian), and it is stable under extensions. A triangulated category with a choice of t structure is sometimes called a t category. Variations
It is clear that, to define a t structure, it suffices to fix integers m and n and specify and Some authors define a t structure to be the pair
The two subcategories and determine each other. An object X is in if and only if for all objects Y in , and vice versa. That is, are left and right orthogonal complements of each other. Consequently, it is enough to specify only one of and Moreover, because these subcategories are full by definition, it is enough to specify their objects. The above notation is adapted to the study of cohomology. When the goal is to study homology, slightly different notation is used. A homological t structure on is a pair such that, if we define
then is a (cohomological) t structure on That is, the definition is the same except that upper indices are converted to lower indices and the roles of and are swapped. If we define
then the axioms for a homological t structure may be written explicitly as
If X is an object of and Y is an object of , then
and If A is an object of , then there exists a distinguished triangle such that X is an object of and Y is an object of
Examples
The natural t structure
The most fundamental example of a t structure is the natural t structure on a derived category. Let be an abelian category, and let be its derived category. Then the natural t structure is defined by the pair of subcategories
It follows immediately that
In this case, the third axiom for a t structure, the existence of a certain distinguished triangle, can be made explicit as follows. Suppose that is a cochain complex with values in Define
It is clear that and that there is a short exact sequence of complexes
This exact sequence furnishes the required distinguished triangle. This example can be generalized to exact categories (in the sense of Quillen). There are also similar t structures for the bounded, bounded above, and bounded below derived categories. If is an abelian subcategory of , then the full subcategory of consisting of those complexes whose cohomology is in has a similar t structure whose heart is
Perverse sheaves
The category of perverse sheaves is, by definition, the core of the so called perverse t structure on the derived category of the category of sheaves on a complex analytic space X or (working with l adic sheaves) an algebraic variety over a finite field. As was explained above, the heart of the standard t structure simply contains ordinary sheaves, regarded as complexes concentrated in degree 0. For example, the category of perverse sheaves on a (possibly singular) algebraic curve X (or analogously a possibly singular surface) is designed so that it contains, in particular, objects of the form
where is the inclusion of a point, is an ordinary sheaf, is a smooth open subscheme and is a locally constant sheaf on U. Note the presence of the shift according to the dimension of Z and U respectively. This shift causes the category of perverse sheaves to be well behaved on singular spaces. The simple objects in this category are the intersection cohomology sheaves of subvarieties with coefficients in an irreducible local system. This t structure was introduced by Beilinson, Bernstein and Deligne. It was shown by Beilinson that the derived category of the heart is in fact equivalent to the original derived category of sheaves. This is an example of the general fact that a triangulated category may be endowed with several distinct t structures. Graded modules
A non standard example of a t structure on the derived category of (graded) modules over a graded ring has the property that its heart consists of complexes
where is a module generated by its (graded) degree n. This t structure called geometric t structure plays a prominent role in Koszul duality. Spectra
The category of spectra is endowed with a t structure generated, in the sense above, by a single object, namely the sphere spectrum. The category is the category of connective spectra, i. e., those whose negative homotopy groups vanish. (In areas related to homotopy theory, it is common to use homological conventions, as opposed to cohomological ones, so in this case it is common to replace "" (superscript) by "" (subscript). Using this convention, the category of connective spectra is denoted as .) Motives
A conjectural example in the theory of motives is the so called motivic t structure. Its (conjectural) existence is closely related to certain standard conjectures on algebraic cycles and vanishing conjectures, such as the Beilinson Soulé conjecture. Truncation functors
In the above example of the natural t structure on the derived category of an abelian category, the distinguished triangle guaranteed by the third axiom was constructed by truncation. As operations on the category of complexes, the truncations and are functorial, and the resulting short exact sequence of complexes is natural in Using this, it can be shown that there are truncation functors on the derived category and that they induce a natural distinguished triangle. In fact, this is an example of a general phenomenon. While the axioms for a t structure do not assume the existence of truncation functors, such functors can always be constructed and are essentially unique. Suppose that is a triangulated category and that is a t structure. The precise statement is that the inclusion functors
admit adjoints. These are functors
such that
Moreover, for any object of , there exists a unique
such that d and the counit and unit of the adjunctions together define a distinguished triangle
Up to unique isomorphism, this is the unique distinguished triangle of the form with and objects of and , respectively. It follows from the existence of this triangle that an object lies in (resp. ) if and only if (resp. ). The existence of implies the existence of the other truncation functors by shifting and taking opposite categories. If is an object of , the third axiom for a t structure asserts the existence of an in and a morphism fitting into a certain distinguished triangle. For each , fix one such triangle and define The axioms for a t structure imply that, for any object of , we have
with the isomorphism being induced by the morphism This exhibits as a solution to a certain universal mapping problem. Standard results on adjoint functors now imply that is unique up to unique isomorphism and that there is a unique way to define on morphisms that makes it a right adjoint. This proves the existence of and hence the existence of all the truncation functors. Repeated truncation for a t structure behaves similarly to repeated truncation for complexes. If , then there are natural transformations
which yield natural equivalences
Cohomology functors
The nth cohomology functor is defined as
As the name suggests, this is a cohomological functor in the usual sense for a triangulated category. That is, for any distinguished triangle , we obtain a long exact sequence
In applications to algebraic topology, the cohomology functors may be denoted instead of The cohomology functors take values in the heart By one of the repeated truncation identities above, up to natural equivalence it is equivalent to define
For the natural t structure on a derived category , the cohomology functor is, up to quasi isomorphism, the usual nth cohomology group of a complex. However, considered as functors on complexes, this is not true. Consider, for example, as defined in terms of the natural t structure. By definition, this is
This complex is non zero in degrees and , so it is clearly not the same as the zeroth cohomology group of the complex However, the non trivial differential is an injection, so the only non trivial cohomology is in degree , where it is , the zeroth cohomology group of the complex It follows that the two possible definitions of are quasi isomorphic. A t structure is non degenerate if the intersection of all , as well as the intersection of all , consists only of zero objects. For a non degenerate t structure, the collection of functors is conservative. Moreover, in this case, (resp. ) may be identified with the full subcategory of those objects for which for (resp. ). Exact functors
For , let be a triangulated category with a fixed t structure Suppose that is an exact functor (in the usual sense for triangulated categories, that is, up to a natural equivalence it commutes with translation and preserves distinguished triangles). Then is:
Left t exact if ,
Right t exact if , and
t exact if it is both left and right t exact. It is elementary to see that if is fully faithful and t exact, then an object of is in (resp. ) if and only if is in (resp. ). It is also elementary to see that if is another left (resp. right) t exact functor, then the composite is also left (resp. right) t exact. The motivation for the study of one sided t exactness properties is that they lead to one sided exactness properties on hearts. Let be the inclusion. Then there is a composite functor
It can be shown that if is left (resp. right) exact, then is also left (resp. right) exact, and that if is also left (resp. right) exact, then
If is right (resp. left) t exact, and if is in (resp. ), then there is a natural isomorphism (resp. ). If are exact functors with left adjoint to , then is right t exact if and only if is left t exact, and in this case, are a pair of adjoint functors
Constructions of t structures
Let be a t structure on If n is an integer, then the translation by n t structure is The dual t structure is the t structure on the opposite category defined by
Let be a triangulated subcategory of a triangulated category If is a t structure on , then
is a t structure on if and only if is stable under the truncation functor When this condition holds, the t structure is called the induced t structure. The truncation and cohomology functors for the induced t structure are the restriction to of those on Consequently, the inclusion of in is t exact, and
To construct the category of perverse sheaves, it is important to be able to define a t structure on a category of sheaves over a space by working locally in that space. The precise conditions necessary for this to be possible can be abstracted somewhat to the following setup. Suppose that there are three triangulated categories and two morphisms
satisfying the following properties. There are two sequences of triples of adjoint functors and The functors , , and are full and faithful, and they satisfy There are unique differentials making, for every K in , exact triangles
In this case, given t structures and on and , respectively, there is a t structure on defined by
This t structure is said to be the gluing of the t structures on U and F. The intended use cases are when , , and are bounded below derived categories of sheaves on a space X, an open subset U, and the closed complement F of U. The functors and are the usual pullback and pushforward functors. This works, in particular, when the sheaves in question are left modules over a sheaf of rings on X and when the sheaves are ℓ adic sheaves. Many t structures arise by means of the following fact: in a triangulated category with arbitrary direct sums, and a set of compact objects in , the subcategories
can be shown to be a t structure. The resulting t structure is said to be generated by
Given an abelian subcategory of a triangulated category , it is possible to construct a subcategory of and a t structure on that subcategory whose heart is .
Тұрақты ∞-санаттарда
t құрылымдарының элементарлық теориясы аз өзгерістермен ∞ санаттарының жағдайына көшеді. Тұрақты ∞ санаты болсын. -ның t құрылымы – оның гомотопиялық санатындағы (үшбұрышты санаты) t құрылымы деп анықталады. ∞ санаттағы t құрылымын үшбұрышты санаттағыдай, гомологиялық немесе кохомологиялық түрде белгілеуге болады. Деп есептейік, ∞ санаты гомотопиялық санаты болып табылады және - оның t құрылымы. Содан кейін әрбір n бүтін саны үшін және -ны -ның және нысандарымен толыққандағы субкатегориялар ретінде анықтаймыз. Инклюзиялық функторлар деп атаймыз. Үшбұрышты санаттағыдай, олар тиісінше оң және сол жаққа қосымша функторларды, яғни кесу функторларын қабылдайды. Бұл функторлар үшбұрышты санаттағыдай қайталанған кесу теңдіктерін қанағаттандырады. t құрылымының ядросы – ∞ субкатегориясы ретінде анықталады. Санат өзінің гомотопиялық санатының нервіне тең. Когомологиялық функтор деп анықталады, немесе эквивалентті түрде, болып табылады. -ның болуы локализациялық функтор екенін білдіреді. Шындығында, ∞ санатындағы t құрылымдары мен белгілі бір локализациялық функторлар, t'' локализациясы деп аталатын, биекцияда болады. Бұл L локализациялық функторлары, олардың эссенциалды бейнесі кеңейту бойынша жабық, яғни егер талшықты тізбек болса және X және Z L-дің эссенциалды бейнесінде жатса, онда Y да L-дің эссенциалды бейнесінде болады. Мұндай L локализациялық функторы берілгенде, сәйкес t құрылымы Lf эквиваленттілігі болатын f морфизмдері арқылы сипатталады. ∞ санатындағы S морфизмдер жиыны квазиқаныққан болып есептеледі, егер ол барлық эквиваленттерді қамтыса, егер S-те оның екі дегенерацияланбаған жиегі бар кез келген 2-симплекс үшін үшінші дегенерацияланбаған жиегі S-те болса және ол түрткілеулер бойынша тұрақты болса. Егер локализациялық функтор болса, онда Lf эквиваленттілігі болатын барлық f морфизмдерінің S жиыны квазиқаныққан. Содан кейін L t локализациялық функторы болады, егер және тек егер S барлық морфизмдерді қамтитын ең кіші квазиқаныққан морфизмдер жиыны болса. Абельдік санаттың туынды санаты әртүрлі шектілік шарттарына сәйкес келетін бірнеше субкатегорияларды қамтиды. Тұрақты ∞ санатындағы t құрылымын ұқсас субкатегорияларды құру үшін пайдалануға болады. Атап айтқанда, бұл тұрақты субкатегориялар. -ның сол жақтан шектелуі (берілген t құрылымына қатысты) егер , оң жақтан шектелуі егер , ал шектелуі егер . t құрылымына қатысты сол немесе оң жақтан толықтыру құруға болады. Бұл формальды түрде бағытталған лимиттерге немесе бағытталған коллимиттерге қосылуға ұқсас. -ның сол жақтан толықтырылуы диаграмманың гомотопиялық лимиті болып табылады. Оң жақтан толықтырылуы дуальды түрде анықталады. Сол және оң жақтан толықтырылулар өздері тұрақты ∞ санаттар болып табылады, олар канондық t құрылымын мұралайды. Олардың кез келген толықтырылуына канондық карта бар, және бұл карта дәл. Егер оның сол және оң жақтан толықтырылуына канондық картасы эквивалентті болса, онда сол жақтан толық немесе оң жақтан толық деп айтамыз.
to be the inclusion functors. Just as in the case of a triangulated category, these admit a right and a left adjoint, respectively, the truncation functors
These functors satisfy the same repeated truncation identities as in the triangulated category case. The heart of a t structure on is defined to be the ∞ subcategory The category is equivalent to the nerve of its homotopy category The cohomology functor is defined to be , or equivalently
The existence of means that is, by definition, a localization functor. In fact, there is a bijection between t structures on and certain kinds of localization functors called t'' localizations. These are localization functors L whose essential image is closed under extension, meaning that if is a fiber sequence with X and Z in the essential image of L, then Y is also in the essential image of L. Given such a localization functor L, the corresponding t structure is defined byt localization functors can also be characterized in terms of the morphisms f for which Lf is an equivalence. A set of morphisms S in an ∞ category is quasisaturated if it contains all equivalences, if any 2 simplex in with two of its non degenerate edges in S has its third non degenerate edge in S, and if it is stable under pushouts. If is a localization functor, then the set S of all morphisms f for which Lf is an equivalence is quasisaturated. Then L is a t localization functor if and only if S is the smallest quasisaturated set of morphisms containing all morphisms
The derived category of an abelian category has several subcategories corresponding to different boundedness conditions. A t structure on a stable ∞ category can be used to construct similar subcategories. Specifically,
These are stable subcategories of One says that is left bounded (with respect to the given t structure) if , right bounded if , and bounded if
It is also possible to form a left or right completion with respect to a t structure. This is analogous to formally adjoining directed limits or directed colimits. The left completion of is the homotopy limit of the diagram
The right completion is defined dually. The left and right completions are themselves stable ∞ categories which inherit a canonical t structure. There is a canonical map from to either of its completions, and this map is t'' exact. We say that is left complete or right complete if the canonical map to its left or right completion, respectively, is an equivalence.