Введение

В области математики, называемой гомологической алгеброй, t-структура — это способ аксиоматизации свойств абелевой подкатегории производной категории. t-структура на состоит из двух подкатегорий треугольной категории или стабильной бесконечномерной категории, которые абстрагируют идею комплексов, чья когомология обращается в нуль в положительных, соответственно, отрицательных степенях. В одной и той же категории может существовать множество различных t-структур, и взаимодействие между этими структурами имеет последствия для алгебры и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по перверсивным пучкам. Определение

Зафиксируем треугольную категорию с функтором сдвига . t-структура на — это пара полных подкатегорий, каждая из которых стабильна относительно изоморфизмов, удовлетворяющих следующим трем аксиомам. Если X — объект и Y — объект , то

Если X — объект , то X[1] также является объектом . Аналогично, если Y — объект , то Y[1] также является объектом . Если A — объект , то существует выделенный треугольник такой, что X — объект и Y — объект .

Можно показать, что подкатегории и замкнуты относительно расширений в . В частности, они стабильны относительно конечных прямых сумм. Предположим, что — t-структура на . В этом случае для любого целого числа n мы определяем как полную подкатегорию объекты которой имеют вид , где — объект . Аналогично, — это полная подкатегория объектов , где — объект . Более кратко, мы определяем

С этой нотацией аксиомы выше можно переписать следующим образом:

Если X — объект и Y — объект , то

и если A — объект , то существует выделенный треугольник такой, что X — объект и Y — объект .

Сердце или ядро t-структуры — это полная подкатегория , состоящая из объектов, содержащихся как в , так и в , то есть .

Сердце t-структуры — это абелева категория (в то время как треугольная категория аддитивна, но почти никогда не абелева), и она стабильна относительно расширений. Треугольную категорию с выбранной t-структурой иногда называют t-категорией. Вариации

Очевидно, что для определения t-структуры достаточно зафиксировать целые числа m и n и указать и . Некоторые авторы определяют t-структуру как пару .

Две подкатегории и определяют друг друга. Объект X принадлежит тогда и только тогда, когда для всех объектов Y в , и наоборот. То есть — левые и правые ортогональные дополнения друг друга. Следовательно, достаточно указать только одну из подкатегорий и , а поскольку эти подкатегории полны по определению, достаточно указать их объекты. Вышеуказанная нотация адаптирована к изучению когомологий. Когда целью является изучение гомологий, используется немного другая нотация. Гомологическая t-структура на — это пара такая, что если мы определим

тогда — (когомологическая) t-структура на . То есть определение такое же, за исключением того, что верхние индексы заменяются нижними индексами, а роли и меняются местами. Если мы определим

тогда аксиомы для гомологической t-структуры можно записать явно следующим образом:

Если X — объект и Y — объект , то

и если A — объект , то существует выделенный треугольник такой, что X — объект и Y — объект .

Примеры

Природная t-структура

Наиболее фундаментальный пример t-структуры — это природная t-структура на производной категории. Пусть — абелева категория, и пусть — ее производная категория. Тогда природная t-структура определяется парой подкатегорий .

Из этого следует, что в этом случае третья аксиома для t-структуры, существование определенного выделенного треугольника, может быть сделана явной следующим образом. Предположим, что — комплекс коцепей со значениями в . Определим

Очевидно, что и что существует короткая точная последовательность комплексов

Эта точная последовательность обеспечивает требуемый выделенный треугольник. Этот пример можно обобщить до точных категорий (в смысле Квиллена). Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий. Если — абелева подкатегория , то полная подкатегория , состоящая из тех комплексов, чья когомология лежит в , имеет аналогичную t-структуру, ядром которой является .

Перверсивные пучки

Категория перверсивных пучков, по определению, является ядром так называемой перверсивной t-структуры на производной категории категории пучков на комплексно-аналитическом пространстве X или (при работе с l-адическими пучками) алгебраическом многообразии над конечным полем. Как было объяснено выше, ядро стандартной t-структуры просто содержит обычные пучки, рассматриваемые как комплексы, сосредоточенные в степени 0. Например, категория перверсивных пучков на (возможно, сингулярной) алгебраической кривой X (или аналогично, возможно, сингулярной поверхности) разработана таким образом, чтобы она содержала, в частности, объекты вида

где — включение точки, — обычный пучок, — гладкая открытая подсхема и — локально постоянный пучок на U. Обратите внимание на сдвиг в соответствии с размерностью Z и U соответственно. Этот сдвиг заставляет категорию перверсивных пучков быть хорошо определенной на сингулярных пространствах. Простые объекты в этой категории — это пучки пересечений когомологий подмногообразий с коэффициентами в неприводимой локальной системе. Эта t-структура была введена Бейлинсоном, Бернштейном и Делинем. Бейлинсон показал, что производная категория ядра фактически эквивалентна исходной производной категории пучков. Это пример общего факта, что треугольную категорию можно наделять несколькими различными t-структурами.

Градированные модули

Нестандартный пример t-структуры на производной категории (градированных) модулей над градуированным кольцом имеет свойство, что ее ядро состоит из комплексов

где — модуль, порожденный его (градированной) степенью n. Эта t-структура, называемая геометрической t-структурой, играет важную роль в двойственности Козуля.

Спектры

Категория спектров наделена t-структурой, порожденной, в вышеуказанном смысле, единственным объектом, а именно сферическим спектром. Категория — это категория связных спектров, то есть тех, чьи отрицательные гомотопические группы обращаются в нуль. (В областях, связанных с теорией гомотопий, обычно используются гомологические соглашения, в отличие от когомологических, поэтому в этом случае обычно заменяют "" (верхний индекс) на "" (нижний индекс). Используя это соглашение, категорию связных спектров обозначают как .)

Мотивы

Предполагаемый пример в теории мотивов — так называемая мотивная t-структура. Ее (предполагаемое) существование тесно связано с определенными стандартными предположениями об алгебраических циклах и предположениями об исчезновении, такими как предположение Бейлинсона — Суле.

Функторы усечения

В приведенном выше примере природной t-структуры на производной категории абелевой категории выделенный треугольник, гарантированный третьей аксиомой, был построен усечением. Как операции над категорией комплексов, усечения и являются функториальными, и полученная короткая точная последовательность комплексов является естественной в . Используя это, можно показать, что существуют функторы усечения на производной категории и что они индуцируют естественный выделенный треугольник. Фактически, это пример общего явления. Хотя аксиомы t-структуры не предполагают существования функторов усечения, такие функторы всегда можно построить и они по существу уникальны. Предположим, что — треугольная категория и — t-структура. Точное утверждение состоит в том, что включающие функторы

имеют сопряженные. Это функторы

такие, что

Кроме того, для любого объекта из , существует единственный

такой, что d и коединица и единица сопряжений вместе определяют выделенный треугольник

С точностью до уникального изоморфизма это единственный выделенный треугольник вида с и объектами и , соответственно. Из существования этого треугольника следует, что объект лежит в (соответственно, ) тогда и только тогда, когда . Таким образом, — левые и правые ортогональные дополнения друг друга.

На стабильных ∞-категориях

Элементарная теория t-структур переносится на случай ∞-категорий с небольшими изменениями. Пусть – стабильная ∞-категория. t-структура на определяется как t-структура на её гомотопической категории (которая является триангулированной категорией). t-структура на ∞-категории может быть обозначена либо гомологически, либо кохомологически, как и в случае триангулированной категории. Предположим, что – ∞-категория с гомотопической категорией и что – t-структура на . Тогда, для каждого целого числа n, мы определяем и как полные подкатегории , порожденные объектами из и , соответственно. Определим

как функторы включения. Как и в случае триангулированной категории, они допускают правое и левое сопряженные, соответственно – функторы усечения. Эти функторы удовлетворяют тем же повторным тождествам усечения, что и в случае триангулированной категории. Сердце t-структуры на определяется как ∞-подкатегория . Категория эквивалентна нерву её гомотопической категории . Когомологический функтор определяется как , или, эквивалентно, . Существование означает, что по определению является функтором локализации. Фактически, существует биекция между t-структурами на и определенными типами функторов локализации, называемых t"-локализациями. Это функторы локализации L, чей существенный образ замкнут относительно расширений, то есть, если – точная последовательность с X и Z в существенном образе L, то Y также находится в существенном образе L. Для заданного такого функтора локализации L, соответствующая t-структура определяется функторами локализации, которые также могут быть охарактеризованы в терминах морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью. Множество морфизмов S в ∞-категории называется квазинасыщенным, если оно содержит все эквивалентности, если любой 2-симплекс в с двумя его невырожденными ребрами в S имеет третье невырожденное ребро в S, и если оно стабильно относительно прообразов. Если – функтор локализации, то множество S всех морфизмов f, для которых Lf является эквивалентностью, квазинасыщено. Тогда L является t-локализационным функтором тогда и только тогда, когда S является наименьшим квазинасыщенным множеством морфизмов, содержащим все морфизмы . Производная категория абелевой категории имеет несколько подкатегорий, соответствующих различным условиям ограниченности. t-структура на стабильной ∞-категории может быть использована для построения подобных подкатегорий. В частности,

– это стабильные подкатегории . Говорят, что лево-ограничена (относительно данной t-структуры), если , право-ограничена, если , и ограничена, если . Также возможно сформировать левое или правое завершение относительно t-структуры. Это аналогично формальному присоединению направленных пределов или направленных копределов. Левое завершение – это гомотопический предел диаграммы . Правое завершение определяется дуально. Левое и правое завершения сами по себе являются стабильными ∞-категориями, которые наследуют каноническую t-структуру. Существует каноническое отображение из в любое из его завершений, и это отображение t"-точное. Мы говорим, что лево-завершено или право-завершено, если каноническое отображение в его левое или правое завершение, соответственно, является эквивалентностью.