Кіріспе

Топ теориясындағы математикалық құрал. 19 ғасырғы британдық математик Артур Кейлидің есімімен аталған Кейли кестесі, топтың шекті құрылымын сипаттау үшін, жиынтық немесе көбейту кестесін еске түсіретін шаршы кестеде топтың барлық элементтерінің мүмкін болатын барлық көбейтінділерін орналастырады. Топтың көптеген қасиеттері – мысалы, абельдік болып табылатыны немесе болмайтыны, қай элементтердің кері элементтері бар екені, сондай-ақ топтың орталығының өлшемі мен құрамы – оның Кейли кестесінен анықталуы мүмкін. Кейли кестесінің қарапайым мысалы – {1, −1} тобының әдеттегі көбейту бойынша кестесі:

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Тарих

Кейли кестелері алғаш рет Кейлидің 1854 жылғы «Группалар теориясы, θn = 1 символды теңдеуге тәуелділігі» деген мақаласында ұсынылған. Сол мақалада олар жай ғана кестелер деп аталды және иллюстрациялық мақсатта ғана қолданылды, кейіннен олардың авторының құрметіне Кейли кестелері деп аталды.

Коммутативтілік

Кейли кестесі бір топтың абельдік екенін көрсетеді. Абельдік топтың топтық операциясы коммутативті болғандықтан, топ абельдік болып табылады, егер және ғана егер оның Кейли кестесінің мәндері диагональді ось бойынша симметриялы болса. Жоғарыда көрсетілген {1, −1} тобы және әдеттегі көбейту бойынша 3-реттік циклдік топ екеуі де абельдік топтардың мысалы болып табылады, және олардың Кейли кестелерінің симметриясын қарастыру оны растайды. Ал, ең кішкентай абельдік емес топ – 6-реттік диэдрлік топта симметриялы Кейли кестесі болмайды.

Қауымдастық

Ассоциативтілік топтармен жұмыс істегенде аксиома ретінде қабылданады, сондықтан Кейли кестелерімен жұмыс істегенде көбінесе ескерілмейді. Дегенмен, Кейли кестелері квазитоп операциясын сипаттау үшін де қолданылуы мүмкін, ол аксиома ретінде ассоциативтілікті қабылдамайды (іс жүзінде, Кейли кестелері кез келген шекті магма операциясын сипаттау үшін де қолданылуы мүмкін). Өкінішке орай, операцияның ассоциативті екенін оның Кейли кестесіне қарап бірден анықтау мүмкін емес, коммутативтіліктегідей. Себебі ассоциативтілік үш мүшелі теңдеуге байланысты, ал Кейли кестесі екі мүшелі көбейтуді көрсетеді. Алайда, Лайттың ассоциативтілік тестісі брутталды күшпен салыстырғанда аз күш жұмсап ассоциативтілікті анықтай алады.

Пермутация

Қайталау қасиеті топтарға (тіпті квазитоптарға да) қатысты болғандықтан, Кейли кестесінің бір қатары немесе бағаны бір элементті екі рет қамтуы мүмкін емес. Осылайша, кестедегі әрбір қатар мен баған топтағы барлық элементтердің орналасуы болып табылады. Бұл, Кейли кестелерінің қайсысы жарамды топтық амалды анықтай алатынын қатты шектейді. Бір қатарда немесе бағанда бір элемент неліктен бірнеше рет кездесе алмайтынын түсіну үшін, a, x және y элементтері бір топтың элементтері болсын, ал x және y екі түрлі болсын. Содан кейін a элементін көрсететін қатарда x бағанасында ax көбейтіндісі орналасады, ал y бағанасында ay көбейтіндісі орналасады. Егер бұл екі көбейтінді тең болса, яғни a қатарында бір элемент екі рет кездессе, онда біздің болжамымыз бойынша ax = ay болады. Бірақ, ануляция заңы қолданылғандықтан, ax = ay болса, онда x = y деген қорытындыға келеміз, бұл қайшылық тудырады. Сондықтан, біздің болжамымыз дұрыс емес, бір қатарда бір элемент екі рет кездесе алмайды. Дәл осы аргумент баған жағдайын дәлелдеуге де жеткілікті, сондықтан әрбір қатар мен бағанда бір элементтен артық жоқ деп қорытындылаймыз. Топ шекті болғандықтан, «көгершін ұясы» принципі топтың әрбір элементі әрбір қатарда және әрбір бағанда дәл бір рет кездесетініне кепілдік береді. Осылайша, топтың Кейли кестесі латын квадратының мысалы болып табылады. Басқаша және қысқарақ дәлел ануляция қасиетінен туындайды. Бұл қасиет, топтағы әр x үшін y f(x,y) = xy бір айнымалы функциясы бір-бірге сәйкес келуді білдіреді. Шекті жиындардағы бір-бірге сәйкес келулер орналасулар болатындықтан, нәтиже осыдан туындайды.

Кейли кестелерін жасау

Топтардың құрылымының арқасында, топтық амалды толық сипаттамасыз тіпті, Кейли кестелеріндегі жоғалған элементтерді "толтыру" мүмкіндігі жиі туады. Мысалы, әрбір қатар мен баған топтағы барлық элементтерді қамтуы керек болғандықтан, егер барлық элементтер бірден басқа есептелсе және бір бос орын қалса, топ туралы қосымша ақпаратсыз, есептелмеген элемент сол қалған бос орынды толтыруы керек деген қорытындыға келуге болады. Осы және топтарға қатысты басқа да байқаулар, топ туралы аз мәлімет болған жағдайда да, олардың Кейли кестелерін құруға көмектеседі. Дегенмен, осы әдіспен құрастырылған Кейли кестесі, топтың ассоциативтілік қағидасын сақтамауы мүмкін, демек ол квазитопты көрсетеді.

Шекті топтың "танымалдылық қаңқасы"

Инверстер кестедегі сәйкестік элементтері арқылы анықталады. Кез келген топта, тіпті абельдік емес топта да, әрбір элемент өзінің инверсімен коммутациялайды, сондықтан Кейли кестесіндегі сәйкестік элементтерінің таралуы кесте диагоналі бойынша симметриялық болады. Диагоналда орналасқан элементтер – өзінің жеке инверсі. Кейли кестесінің қатарлары мен бағандарының реті шындығында кездейсоқ болғандықтан, оларды келесідей реттеу ыңғайлы: топтың сәйкестік элементінен бастап, ол әрқашан өзінің инверсі болады, алдымен өзінің инверсіне тең барлық элементтерді тізімдеңіз, содан кейін бір-біріне жақын орналасқан инверстер жұптарын тізімдеңіз. Содан кейін, белгілі бір реті бар шекті топ үшін, оның «сәйкестік қаңқасын» сипаттау оңай, себебі алдыңғы абзацта сипатталғандай құрылған Кейли кестесіндегі сәйкестік элементтері негізгі диагоналға шоғырланған – олар тікелей оған орналасқан немесе одан бір қадам алыс жатады. Әр түрлі сәйкестік қаңқалары бар топтар изоморфты бола алмайтынын дәлелдеу салыстырмалы түрде оңай, бірақ керісінше дұрыс емес (мысалы, циклдік топ C8 және кватерниондық топ Q изоморфты емес, бірақ олардың сәйкестік қаңқалары бірдей). Сондай-ақ, барлық сәйкестік қаңқалары нақты топтарға сәйкес келмейді. Мысалы, барлық элементтері өзінің инверсі болатын алты элементтен тұратын топ жоқ.

Жалпылау

Жоғарыдағы қасиеттер топтар үшін сақталатын кейбір аксиомаларға тәуелді. Жартылай топтар, квазитоптар және магмалар сияқты басқа алгебралық құрылымдар үшін де Кейли кестелерін қарастыру орынды, бірақ жоғарыда айтылған қасиеттердің бәрі де оларға қатысты болмайды.