Введение

Математический инструмент в теории групп. Названная в честь британского математика XIX века Артура Кейли, таблица Кейли описывает структуру конечной группы, располагая все возможные произведения элементов группы в квадратной таблице, напоминающей таблицу сложения или умножения. Многие свойства группы, такие как коммутативность, какие элементы являются обратными для каких элементов, а также размер и содержимое центра группы, можно определить по таблице Кейли. Простой пример таблицы Кейли – это таблица для группы {1, −1} относительно обычного умножения:

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

История

Таблицы Кейли впервые были представлены в статье Кейли 1854 года «О теории групп, как зависящей от символического уравнения θⁿ = 1». В этой статье они упоминались просто как таблицы и служили лишь иллюстративным материалом. Позднее, в честь их создателя, они стали известны как таблицы Кейли.

Коммутативность

Таблица Кейли позволяет определить, является ли группа абелевой. Поскольку групповая операция в абелевой группе коммутативна, группа является абелевой тогда и только тогда, когда значения в её таблице Кейли симметричны относительно главной диагонали. Группа {1, −1}, приведённая выше, и циклическая группа третьего порядка при обычном умножении являются примерами абелевых групп, и проверка симметрии их таблиц Кейли это подтверждает. В отличие от них, наименьшая неабелева группа, диэдрическая группа порядка 6, не обладает симметричной таблицей Кейли.

Ассоциативность

Поскольку ассоциативность принимается как аксиома при работе с группами, она часто подразумевается при работе с таблицами Кейли. Однако таблицы Кейли также могут использоваться для описания операции квазигруппы, которая не постулирует ассоциативность как аксиому (фактически, таблицы Кейли могут использоваться для описания операции любой конечной магмы). К сожалению, обычно нельзя определить, является ли операция ассоциативной, просто взглянув на её таблицу Кейли, в отличие от коммутативности. Это происходит потому, что ассоциативность определяется уравнением с тремя членами, , а таблица Кейли отображает произведения двух членов. Однако тест ассоциативности Лайта позволяет определить ассоциативность с меньшими затратами усилий, чем полный перебор.

Пермутации

Поскольку свойство отмены действует для групп (и даже квазигрупп), ни одна строка или столбец таблицы Кейли не может содержать один и тот же элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы является перестановкой всех элементов группы. Это существенно ограничивает, какие таблицы Кейли могут определять допустимую групповую операцию. Чтобы понять, почему строка или столбец не могут содержать один и тот же элемент более одного раза, пусть a, x и y – все элементы группы, причем x и y различны. Тогда в строке, представляющей элемент a, столбец, соответствующий x, содержит произведение ax, и аналогично столбец, соответствующий y, содержит произведение ay. Если бы эти два произведения были равны – то есть, строка a содержала бы один и тот же элемент дважды – наша гипотеза заключалась бы в том, что ax = ay. Но поскольку выполняется закон отмены, мы можем заключить, что если ax = ay, то x = y, что является противоречием. Следовательно, наша гипотеза неверна, и строка не может содержать один и тот же элемент дважды. Абсолютно аналогичный аргумент достаточен для доказательства случая столбца, и поэтому мы заключаем, что каждая строка и каждый столбец не содержат ни одного элемента более одного раза. Поскольку группа конечна, принцип Дирихле гарантирует, что каждый элемент группы будет представлен в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Таким образом, таблица Кейли группы является примером латинского квадрата. Альтернативное и более краткое доказательство следует из свойства отмены. Это свойство подразумевает, что для каждого x в группе функция одной переменной y, f(x, y) = xy, должна быть взаимно однозначным отображением. Результат следует из того факта, что взаимно однозначные отображения на конечных множествах являются перестановками.

Создание таблиц Кейли

Из-за структуры групп очень часто можно "дополнять" таблицы Кейли, в которых отсутствуют элементы, даже не имея полного описания групповой операции. Например, поскольку каждая строка и каждый столбец должны содержать все элементы группы, если все элементы, кроме одного, уже указаны, и есть одно пустое место, то, не зная ничего другого о группе, можно заключить, что неуказанный элемент должен занимать оставшееся пустое место. Оказывается, что это и другие общие свойства групп позволяют нам строить таблицы Кейли групп, располагая очень небольшим количеством информации о самой группе. Однако таблица Кейли, построенная описанным ниже методом, может не удовлетворять требованию ассоциативности для группы и, следовательно, представлять собой квазигруппу.

"Объект идентичности" конечной группы

Инверсы идентифицируются элементами идентичности в таблице. Поскольку в любой группе, даже неабелевой, каждый элемент коммутирует со своим собственным инверсом, следует, что распределение элементов идентичности в таблице Кейли будет симметричным относительно главной диагонали таблицы. Элементы, лежащие на диагонали, являются собственными инверсами. Так как порядок строк и столбцов таблицы Кейли фактически произволен, удобно упорядочить их следующим образом: начиная с элемента идентичности группы, который всегда является своим собственным инверсом, сначала перечислить все элементы, являющиеся собственными инверсами, а затем пары инверсов, расположенные рядом друг с другом. Далее, для конечной группы заданного порядка легко охарактеризовать её "идентификационный скелет", так названный потому, что элементы идентичности в таблице Кейли, построенной описанным выше образом, сгруппированы вокруг главной диагонали – либо лежат непосредственно на ней, либо смещены от неё на одну позицию. Относительно просто доказать, что группы с различными идентификационными скелетами не могут быть изоморфны, хотя обратное неверно (например, циклическая группа C8 и группа кватернионов Q неизоморфны, но имеют один и тот же идентификационный скелет). Также не все идентификационные скелеты соответствуют существующим группам. Например, не существует группы из шести элементов, в которой каждый элемент был бы своим собственным инверсом.

Обобщения

Вышеуказанные свойства зависят от некоторых аксиом, справедливых для групп. Естественно рассматривать таблицы Кейли для других алгебраических структур, таких как полугруппы, квазигруппы и магмы, однако некоторые из вышеуказанных свойств не выполняются.