Кіріспе
Категориялар теориясындағы математикалық құрылым. Математикада, категорияның қаңқасы – бұл, шамамен айтқанда, артық изоморфизмдерді қамтамайтын субкатегория. Белгілі бір мағынада, категорияның қаңқасы – бастапқы категорияның барлық «категориялық қасиеттерін» қамтитын «ең кіші» эквивалентті категория. Шындығында, екі категория эквивалентті болады, егер және тек егер олардың изоморфты қаңқалары болса. Егер изоморфты объектілер міндетті түрде сәйкес келсе, онда категория қаңқалы категория деп аталады.
In mathematics, a skeleton of a category is a subcategory that, roughly speaking, does not contain any extraneous isomorphisms. In a certain sense, the skeleton of a category is the "smallest" equivalent category, which captures all "categorical properties" of the original. In fact, two categories are equivalent if and only if they have isomorphic skeletons. A category is called skeletal if isomorphic objects are necessarily identical.
Бар болу және бірегейлігі
Бұл әрбір кіші категорияның скелеті бар деген негізгі факт; жалпы алғанда, әрбір қолжетімді категорияның скелеті бар. (Бұл таңдау аксиомасына эквивалентті.) Сондай-ақ, бір категорияның көптеген әртүрлі скелеттері болуы мүмкін, бірақ кез келген екі скелет категория ретінде изоморфты болады, сондықтан категория изоморфизміне дейін категорияның скелеті бірегей. Скелеттердің маңыздылығы олардың (категория изоморфизміне дейін) категориялардың эквиваленттілік қатынасы бойынша эквиваленттілік сыныптарының канондық өкілдері болып табылуында. Бұл категория C-ның кез келген скелеті C-ға эквивалентті екендігінен және екі категория эквивалентті болса және тек қана олардың изоморфты скелеттері болған жағдайда ғана туындайды.
Мысалдар
Барлық жиынтықтар санаты барлық кардиналдық сандардың кіші санатын скелет ретінде қамтиды. Белгілі бір өрістегі барлық векторлық кеңістіктердің K санаты, α – кез келген кардиналдық сан болғанда, барлық α-дәрежелі кеңістіктерден тұратын кіші санатқа ие, осы санат скелет болып табылады; кез келген шекті m және n үшін, морфизмдер дәл n × m матрицалары болып табылады, мүшелері K өрісінен алынған. FinSet, барлық шекті жиынтықтар санаты, FinOrd, барлық шекті ординалдық сандар санатын скелет ретінде қамтиды. Барлық жақсы реттелген жиынтықтар санаты барлық ординалдық сандардың кіші санатын скелет ретінде қамтиды. Алдын ала реттелген, яғни кез келген екі объектінің жұбы үшін, объектілер жиыны бір элементтен тұрады немесе бос жиын болады, ішінара реттелген жиынды скелет ретінде қамтиды.
FinSet, the category of all finite sets has FinOrd, the category of all finite ordinal numbers, as a skeleton. The category of all well ordered sets has the subcategory of all ordinal numbers as a skeleton. A preorder, i. e. a small category such that for every pair of objects , the set either has one element or is empty, has a partially ordered set as a skeleton.