Введение

Математическая конструкция в теории категорий

В математике скелет категории — это подкатегория, которая, грубо говоря, не содержит избыточных изоморфизмов. В определенном смысле, скелет категории является "наименьшей" эквивалентной категорией, отражающей все "категориальные свойства" исходной категории. Две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда у них существуют изоморфные скелеты. Категория называется скелетной, если изоморфные объекты тождественны.

Существование и уникальность

Это основной факт, что каждая малая категория имеет скелет; в более общем смысле, каждая доступная категория имеет скелет. (Это эквивалентно аксиоме выбора.) Кроме того, хотя категория может иметь множество различных скелетов, любые два скелета изоморфны как категории, поэтому, с точностью до изоморфизма категорий, скелет категории единственен. Важность скелетов заключается в том, что они (с точностью до изоморфизма категорий) являются каноническими представителями классов эквивалентности категорий относительно отношения эквивалентности категорий. Это следует из того, что любой скелет категории C эквивалентен C, и что две категории эквивалентны тогда и только тогда, когда у них есть изоморфные скелеты.

Примеры

Категория множеств всех множеств имеет подкатегорию всех кардинальных чисел в качестве скелета. Категория K-Вектор всех векторных пространств над фиксированным полем имеет подкатегорию, состоящую из всех пространств размерности , где α – любое кардинальное число, в качестве скелета; для любых конечных m и n, морфизмы – это точно матрицы n × m с элементами из K. Категория FinSet, категория всех конечных множеств, имеет FinOrd, категорию всех конечных порядковых чисел, в качестве скелета. Категория всех вполне упорядоченных множеств имеет подкатегорию всех порядковых чисел в качестве скелета. Предварительный порядок, то есть малая категория, для которой для каждой пары объектов множество либо содержит ровно один морфизм, либо пусто, имеет частично упорядоченное множество в качестве скелета.