Кіріспе
Объектінің толығымен өзінің бір бөлігіне математикалық тұрғыдан ұқсас болуы
In mathematics, a self similar object is exactly or approximately similar to a part of itself (i. e., the whole has the same shape as one or more of the parts). Many objects in the real world, such as coastlines, are statistically self similar: parts of them show the same statistical properties at many scales. Self similarity is a typical property of fractals. Scale invariance is an exact form of self similarity where at any magnification there is a smaller piece of the object that is similar to the whole. For instance, a side of the Koch snowflake is both symmetrical and scale invariant; it can be continually magnified 3x without changing shape. The non trivial similarity evident in fractals is distinguished by their fine structure, or detail on arbitrarily small scales. As a counterexample, whereas any portion of a straight line may resemble the whole, further detail is not revealed. A time developing phenomenon is said to exhibit self similarity if the numerical value of certain observable quantity
measured at different times are different but the corresponding dimensionless quantity at given value of remain invariant. It happens if the quantity exhibits dynamic scaling. The idea is just an extension of the idea of similarity of two triangles. Note that two triangles are similar if the numerical values of their sides are different however the corresponding dimensionless quantities, such as their angles, coincide. Peitgen et al. explain the concept as such:
Since mathematically, a fractal may show self similarity under indefinite magnification, it is impossible to recreate this physically. Peitgen et al. suggest studying self similarity using approximations:
This vocabulary was introduced by Benoit Mandelbrot in 1964.
Математикада өзіне ұқсас объект өзінің бір бөлігіне дәл немесе шамамен ұқсас болады (яғни, толығының пішіні бір немесе бірнеше бөлігінің пішінімен сәйкес келеді). Шын әлемдегі көптеген объектілер, мысалы, жағалау сызықтары, статистикалық тұрғыдан өзіне ұқсас: олардың бөліктері әртүрлі масштабтарда бірдей статистикалық қасиеттерді көрсетеді. Өзіне ұқсастық – фракталдардың ерекше қасиеті. Масштабтық инварианттылық – өзіне ұқсастықтың нақты түрі, онда кез келген ұлғайтуда объектінің кішірек бөлігі толығымен ұқсас болады. Мысалы, Кох қарлығашының бір қабырғасы симметриялық және масштаб өзгермейтін; оны пішінін өзгертпей 3 есеге дейін үнемі ұлғайтуға болады. Фракталдардағы айқын емес ұқсастық олардың құрылымдық ерекшеліктерімен немесе кез келген өте кішкентай масштабтағы егжей-тегжейлілігімен ерекшеленеді. Керісінше, түзу сызықтың кез келген бөлігі толық сызыққа ұқсауы мүмкін, бірақ одан арғы егжей-тегжейлілік ашылмайды. Уақыт бойынша дамитын құбылыс өзіне ұқсастық көрсетеді делінеді, егер әртүрлі уақытта өлшенген белгілі бір байқалатын шаманың сандық мәні әртүрлі болса, бірақ берілген мәндегі өлшемсіз шама өзгермейді. Бұл шама динамикалық масштабталуға ие болғанда болады. Бұл идея екі үшбұрыштың ұқсастығы туралы идеяның жалғасы. Екі үшбұрыштың қабырғаларының сандық мәндері әртүрлі болса да, бұрыштары сияқты өлшемсіз шамалары сәйкес келсе, олар ұқсас болады. Пейтген және авторлар ұғымды былай түсіндіреді: математикалық тұрғыдан фрактал шексіз ұлғайту кезінде өзіне ұқсастық көрсете алады, сондықтан оны физикалық тұрғыдан қайта жарату мүмкін емес. Пейтген және авторлар өзіне ұқсастықты жуықтау арқылы зерттеуді ұсынады: Бұл терминологияны 1964 жылы Бенуа Мандельброт енгізді.
In mathematics, a self similar object is exactly or approximately similar to a part of itself (i. e., the whole has the same shape as one or more of the parts). Many objects in the real world, such as coastlines, are statistically self similar: parts of them show the same statistical properties at many scales. Self similarity is a typical property of fractals. Scale invariance is an exact form of self similarity where at any magnification there is a smaller piece of the object that is similar to the whole. For instance, a side of the Koch snowflake is both symmetrical and scale invariant; it can be continually magnified 3x without changing shape. The non trivial similarity evident in fractals is distinguished by their fine structure, or detail on arbitrarily small scales. As a counterexample, whereas any portion of a straight line may resemble the whole, further detail is not revealed. A time developing phenomenon is said to exhibit self similarity if the numerical value of certain observable quantity
measured at different times are different but the corresponding dimensionless quantity at given value of remain invariant. It happens if the quantity exhibits dynamic scaling. The idea is just an extension of the idea of similarity of two triangles. Note that two triangles are similar if the numerical values of their sides are different however the corresponding dimensionless quantities, such as their angles, coincide. Peitgen et al. explain the concept as such:
Since mathematically, a fractal may show self similarity under indefinite magnification, it is impossible to recreate this physically. Peitgen et al. suggest studying self similarity using approximations:
This vocabulary was introduced by Benoit Mandelbrot in 1964.
Өз-өзіне жақындық
Математикада, өз-өзімен ұқсастық – бұл фракталдың бір ерекшелігі, онда оның бөліктері x және y бағыттарында әртүрлі масштабта өзгереді. Демек, осы фракталдық нысандардың өздігінен ұқсастығын толық түсіну үшін, оларды анизотроптық сызықтық түрлендіру арқылы қайта масштабтау қажет.
Мысалдар
Мандельброт жиыны Мисюревич нүктелерінің маңында да өзіне ұқсас. Өзіне ұқсастық компьютерлік желілерді жобалауда маңызды салдарларға алып келеді, себебі әдеттегі желілік трафик өзіне ұқсас қасиеттерге ие. Мысалы, телекоммуникациялық инженерияда пакеттік деректер трафигінің үлгілері статистикалық тұрғыдан өзіне ұқсас болып көрінеді. Бұл қасиет Пуассон үлестірілімін қолданатын қарапайым модельдердің дұрыс болмайтынын және өзіне ұқсастық ескерілмей жобаланған желілердің күтпеген әдістермен жұмыс істеуі мүмкін екенін көрсетеді. Сол сияқты, қор нарығының қозғалыстары өзіне ұқсастық көрсетеді, яғни көрсетілген детальдеңгейіне сәйкес аффиндік түрлендіру арқылы өзгертілгенде өзіне ұқсас болып көрінеді. Эндрю Ло эконометрияда қор нарығының логарифмдік өсуінің өзіне ұқсастығын сипаттайды. Шектелген бөлу ережелері – Кантор жиыны және Серпинский үшбұрышы сияқты өзіне ұқсас жиындарды құрудың тиімді әдісі.
Кибернетикада
Стаффорд Бирдің өміршең жүйе моделі – бұл өзіне ұқсас байланысты иерархиялық ұйымдық модель, онда белгілі бір өміршең жүйе бір рекурсивті деңгей жоғарыдағы өміршең жүйенің Бірінші Жүйесінің бір бөлігі болып табылады, ал оның Бірінші Жүйесінің элементтері бір рекурсивті деңгей төмендегі өміршең жүйелер болып табылады.
Табиғатта
Өз-өзіне ұқсастықты табиғатта да кездестіруге болады. Оң жақта математикалық түрде жасалған, нағыз өз-өзіне ұқсас папоротник суреті көрсетілген, ол табиғи папоротниктерге ерекше ұқсайды. Романско брокколи сияқты басқа да өсімдіктерде де күшті өз-өзіне ұқсастық байқалады.
Музыка саласында
Қатаң канондар әртүрлі типтері мен түрлі деңгейдегі өзіне ұқсастық көрсетеді, сондай-ақ фугалардың бөлімдері де. Шепард тоны жиілік немесе толқын ұзындығы салаларында өзіне ұқсас келеді. Дания композиторы Пер Нёрггард өзінің көптеген шығармаларында "шексиздік қатары" деп аталатын өзіне ұқсас бүтін сандар тізбегін пайдаланған. Музыкалық ақпаратты іздестіру саласындағы зерттеулерде өзіне ұқсастық әдетте музыканың уақыт өте келе қайталанатын бөліктерден тұратындығын білдіреді. Яғни, музыка масштабтаудың орнына (немесе одан бөлек) уақыт бойынша өзіне-өзі ұқсас болады.