Екі өзгерушілі екілік квадраттық формалар

Кіріспе

Екі айнымалыдағы квадратикалық гомогенді көптік, бүтін сан коэффициенттері бар бинарлық квадратикалық формалар.

Математикада, бинарлық квадратикалық форма – бұл екі айнымалыдағы квадратикалық гомогенді көптік, онда a, b, c – коэффициенттер. Егер коэффициенттер кез келген комплекс сандар болса, көптеген нәтижелер екі айнымалы жағдайына ғана тән емес, сондықтан олар квадратикалық түрде сипатталады. Бүтін сан коэффициенттері бар квадратикалық форма интегралды бинарлық квадратикалық форма деп аталады, көбінесе бинарлық квадратикалық форма деп қысқартылады. Бұл мақала толығымен интегралды бинарлық квадратикалық формаларға арналған. Мұндай таңдаудың себебі – олардың алгебралық сан теориясын дамытудың басты күші ретіндегі мәртебесі. Он тоғызыншы ғасырдың соңынан бері бинарлық квадратикалық формалар алгебралық сан теориясындағы басымдығын квадратикалық және жалпы сандар өрістеріне өткізді, бірақ бинарлық квадратикалық формаларға тән жаңа жетістіктер әлі де кездеседі. Пьер Ферма егер p – тақ сан болса, онда теңдеудің шешімі бар екенін айтты, егер , және ол теңдеулер туралы ұқсас мәлімдемелер жасады , , және т.б. – бұл квадратикалық формалар, ал квадратикалық формалар теориясы осы теоремаларды қарастырудың және дәлелдеудің біртұтас тәсілін ұсынады. Квадраттық формалардың тағы бір мысалы – Пелл теңдеуі. Бинарлық квадратикалық формалар квадратикалық өрістердегі идеалдармен тығыз байланысты. Бұл, берілген дискриминантқа ие қысқартылған бинарлық квадратикалық формалардың санын санау арқылы, квадратикалық өрістің сынып санының есептелуіне мүмкіндік береді. Екі айнымалының классикалық тета функциясы , егер – оң анықталған квадратикалық форма болса, онда – тета функциясы.

Өкілдік

Егер бүтін сандарды табуға және теңдеуді қанағаттандыруға мүмкіндік болса, бинарлық квадраттық форма бүтін санды көрсетеді. Мұндай теңдеу n-нің q арқылы берілуі болып табылады.

Кішірейту және сыныптар саны

Лагранж D-ның кез келген мәні үшін дискриминанты D болатын екілік квадраттық формалардың сыныптары шекті екенін дәлелдеді. Олардың саны – дискриминанты D саны. Ол әр сыныптағы канондық өкілді құру үшін редукция деп аталатын алгоритмді сипаттады, ондағы коэффициенттері белгілі бір мағынада ең кіші болады. Гаусс «Disquisitiones Arithmeticae» еңбегінде одан да жақсы редукция алгоритмін ұсынды, ол осы күнге дейін оқулықтарда ең көп қолданылатын редукция алгоритмі болып табылады. 1981 жылы Загиер Гаусс алгоритміне балама ретінде бірнеше пайдалы балама азайту алгоритмін жариялады.

Құрамы

Композиция көбінесе бір дискриминанттың формаларының бастапқы эквиваленттік кластарына қатысты екілік операцияны білдіреді, бұл Гаустың ең терең жаңалығының бірі болып табылады және бұл жиынтықты дискриминанттың формалық кластық тобы (немесе жай ғана кластық тобы) деп аталатын шекті абельдік топқа айналдырады. Кластық топтар содан бері алгебралық сандар теориясының орталық идеяларының біріне айналды. Қазіргі заманғы көзқарас бойынша, фундаменталды дискриминанттың кластық тобы, дискриминанттың квадраттық өрісінің тар кластық тобына изоморфты. Теріс мәндер үшін тар кластық топ идеалдық кластық топқа тең, бірақ оң мәндер үшін ол екі есе үлкен болуы мүмкін. "Композиция" кейде екілік квадраттық формалардағы екілік операцияны да білдіреді. "Шамамен" деген сөз екі ескертуді білдіреді: тек белгілі бір екілік квадраттық формалардың жұптары ғана композициялана алады, ал нәтижесіндегі форма анықталмаған (оның эквиваленттік класы болса да). Эквиваленттік кластардағы композиция операциясы, алдымен формалардың композициясын анықтау арқылы, содан кейін бұл кластардағы анықталған операцияны тудыру арқылы анықталады. "Композиция" сонымен қатар формалар арқылы бүтін сандардың бейнеленуіне қатысты екілік операцияны білдіре алады. Бұл операция формаларды композициялаудан әлдеқайда күрделі, бірақ тарихи тұрғыдан алдымен осы операция пайда болды. Мұндай операцияларды төмендегі бөлімде қарастырамыз. Композиция – дегеніміз, бір дискриминанттың 2 квадраттық формасын алып, оларды біріктіре отырып, сол дискриминанттың квадраттық формасын жасау, бұл Брахмагуптаның тепе-теңдігінен көрінеді.

Бинарлық квадраттық нысандардың түрлері

Гаусс сонымен қатар эквиваленттіліктің қатаң ұғымын қарастырды, әр қатаң сынып формалардың туысы деп аталды. Әр туыс – бір дискриминанттың шекті сандағы эквивалентті сыныптарының бірігуі, сыныптардың саны тек дискриминантқа ғана байланысты. Бинарлық квадраттық формалар контекстінде туыстар формалармен бейнеленген сандардың конгруэнция кластары немесе формалар жиынтығында анықталған туыс белгілері арқылы анықталуы мүмкін. Үшінші анықтама – n айнымалыдағы квадраттық форманың туысының ерекше жағдайы. Оған сәйкес, формалар егер олар барлық рационалды жай сандарда (архимедтік орынды қоса алғанда) локальды түрде эквивалентті болса, бір туысқа жатады.

Тарих

Алгебралық сәйкестіктер туралы прототарихи білімнің екілік квадраттық формаларды қамтитын дәлелдік мәліметтері бар. Бинарлық квадраттық формаларға қатысты алғашқы мәселе – белгілі бір бинарлық квадраттық формалар арқылы бүтін сандардың бейнеленуінің болуын немесе құралуын анықтау. Басты мысалдар – Пелл теңдеуінің шешімі және бүтін сандарды екі квадраттың қосындысы түрінде көрсету. Пелл теңдеуін біздің заманымыздың 7-ші ғасырында үнді математигі Брахмагупта қарастырған. Бірнеше ғасырдан кейін оның идеялары Пелл теңдеуінің толық шешімін табуға дейін дамытылды, ол чакравала әдісі деп аталады және үнді математиктері Джаядева немесе Бхаскара II-ге жатқызылады. Екі квадраттың қосындысы түрінде бүтін сандарды көрсету мәселесін 3-ші ғасырда Диофант қарастырған. 17-шы ғасырда Диофанттың «Арифметикасын» оқығаннан кейін Ферма белгілі бір квадраттық формалар арқылы бейнелеулер туралы бірнеше байқаулар жасады, соның ішінде қазір екі квадраттың қосындысы туралы Ферма теоремасы деп белгілі болған теореманы да айтты. Эйлер Ферманың байқауларына алғашқы дәлелдерін келтірді және нақты формалар арқылы бейнелеу туралы жаңа болжамдар қосты, бірақ оларды дәлелдемеді. Квадраттық формалардың жалпы теориясын Лагранж 1775 жылы «Арифметикалық зерттеулер» еңбегінде енгізді. Лагранж алғаш рет «бір тұтас жалпы теория барлық формаларды бірдей қарастыруды талап етеді» деген тұжырымға келді. Ол дискриминанттың маңыздылығын бірінші болып мойындады және Вейльдің сөзімен айтқанда, «осы уақыттан бері квадраттық формалардың барлық саласына үстемдік еткен» теңдестік және азайту ұғымдарын анықтады. Лагранж берілген дискриминанттың шекті саны бар эквиваленттілік сыныптары бар екенін көрсетті, осылайша алғаш рет арифметикалық сынып санын анықтады. Оның азайту әдісін енгізуі берілген дискриминанттың сыныптарын жылдам санауға мүмкіндік берді және болашақ инфрақұрылымның дамуын болжады. 1798 жылы Лежандр «Essai sur la théorie des nombres» басылымын жариялады, онда Эйлер мен Лагранждың еңбектері жинақталды және оның жеке үлестері қосылды, соның ішінде формалардағы композиция операциясының алғашқы көрінісі де болды. Теорияны Гаусс «Disquisitiones Arithmeticae» еңбегінің V бөлімінде кеңейтіп, жетілдірді. Гаусс композиция операторының өте жалпы түрін енгізді, ол әртүрлі дискриминанттардың жұп формаларын және импримитивті формаларды біріктіруге мүмкіндік береді. Ол Лагранж эквиваленттілігін дұрыс эквиваленттілік туралы нақты түсінікпен алмастырды, бұл оған берілген дискриминанттың бастапқы сыныптары композиция операциясы бойынша топ құрайтынын көрсетуге мүмкіндік берді. Ол кластық топтың квадраттардың кіші тобына қатынасын түсінуге көмектесетін гендер теориясын енгізді. (Гаусс және көптеген кейінгі авторлар b орнына 2b деп жазды; xy коэффициентінің тақ болуына рұқсат беретін қазіргі заманғы конвенция Эйзенштейнге байланысты). Гаустың бұл зерттеулері екіден астам айнымалысы бар квадраттық формалардың арифметикалық теориясына және алгебралық сандар теориясының кейінгі дамуына күшті әсер етті, онда квадраттық өрістер жалпы сандар өрістерімен ауыстырылды. Бірақ әсері бірден болмады. «Disquisitiones» еңбегінің V бөлімі революциялық идеяларға толы және өте күрделі есептеулерді қамтиды, кейде оқырманға қалдырылады. Жаңалық пен күрделілік V бөлімді өте қиын етті. Дирихлет теорияны жеңілдетіп, оны кең аудиторияға қолжетімді етті. Бұл жұмыстың шыңы – «Vorlesungen über Zahlentheorie» еңбегі. Бұл еңбектің үшінші басылымына Дедекиндтің екі қосымшасы енгізілді. XI қосымшада сақина теориясы енгізілді, одан кейін, әсіресе 1897 жылы Гилберттің «Zahlbericht» басылымынан кейін, бинарлық квадраттық формалар теориясы алгебралық сандар теориясындағы басты орнын жоғалтып, алгебралық сандар өрістерінің жалпы теориясының көлеңкесіне түсті. Дегенмен, бүтін сан коэффициенттері бар екілік квадраттық формалар бойынша жұмыс қазіргі уақытқа дейін жалғасуда. Бұған квадратикалық сандар өрістері туралы көптеген нәтижелер кіреді, оларды көбінесе екілік квадратикалық формалар тіліне аударуға болады, сонымен қатар формалардың өзі туралы немесе формалар туралы ойлау арқылы пайда болған жаңалықтар да бар, соның ішінде Шанкс инфрақұрылымы, Загиердің азайту алгоритмі, Конвейдің топограммалары және Бхаргаваның Бхаргава кубтары арқылы композицияны қайта түсіндіруі.

There is circumstantial evidence of protohistoric knowledge of algebraic identities involving binary quadratic forms. The first problem concerning binary quadratic forms asks for the existence or construction of representations of integers by particular binary quadratic forms. The prime examples are the solution of Pell's equation and the representation of integers as sums of two squares. Pell's equation was already considered by the Indian mathematician Brahmagupta in the 7th century CE. Several centuries later, his ideas were extended to a complete solution of Pell's equation known as the chakravala method, attributed to either of the Indian mathematicians Jayadeva or Bhāskara II. The problem of representing integers by sums of two squares was considered in the 3rd century by Diophantus. In the 17th century, inspired while reading Diophantus's Arithmetica, Fermat made several observations about representations by specific quadratic forms including that which is now known as Fermat's theorem on sums of two squares. Euler provided the first proofs of Fermat's observations and added some new conjectures about representations by specific forms, without proof. The general theory of quadratic forms was initiated by Lagrange in 1775 in his Recherches d'Arithmétique. Lagrange was the first to realize that "a coherent general theory required the simulatenous consideration of all forms." He was the first to recognize the importance of the discriminant and to define the essential notions of equivalence and reduction, which, according to Weil, have "dominated the whole subject of quadratic forms ever since". Lagrange showed that there are finitely many equivalence classes of given discriminant, thereby defining for the first time an arithmetic class number. His introduction of reduction allowed the quick enumeration of the classes of given discriminant and foreshadowed the eventual development of infrastructure. In 1798, Legendre published Essai sur la théorie des nombres, which summarized the work of Euler and Lagrange and added some of his own contributions, including the first glimpse of a composition operation on forms. The theory was vastly extended and refined by Gauss in Section V of Disquisitiones Arithmeticae. Gauss introduced a very general version of a composition operator that allows composing even forms of different discriminants and imprimitive forms. He replaced Lagrange's equivalence with the more precise notion of proper equivalence, and this enabled him to show that the primitive classes of given discriminant form a group under the composition operation. He introduced genus theory, which gives a powerful way to understand the quotient of the class group by the subgroup of squares. (Gauss and many subsequent authors wrote 2b in place of b; the modern convention allowing the coefficient of xy to be odd is due to Eisenstein). These investigations of Gauss strongly influenced both the arithmetical theory of quadratic forms in more than two variables and the subsequent development of algebraic number theory, where quadratic fields are replaced with more general number fields. But the impact was not immediate. Section V of Disquisitiones contains truly revolutionary ideas and involves very complicated computations, sometimes left to the reader. Combined, the novelty and complexity made Section V notoriously difficult. Dirichlet published simplifications of the theory that made it accessible to a broader audience. The culmination of this work is his text Vorlesungen über Zahlentheorie. The third edition of this work includes two supplements by Dedekind. Supplement XI introduces ring theory, and from then on, especially after the 1897 publication of Hilbert's Zahlbericht, the theory of binary quadratic forms lost its preeminent position in algebraic number theory and became overshadowed by the more general theory of algebraic number fields. Even so, work on binary quadratic forms with integer coefficients continues to the present. This includes numerous results about quadratic number fields, which can often be translated into the language of binary quadratic forms, but also includes developments about forms themselves or that originated by thinking about forms, including Shanks's infrastructure, Zagier's reduction algorithm, Conway's topographs, and Bhargava's reinterpretation of composition through Bhargava cubes.