Введение

Квадратный однородный многочлен в двух переменных, двоичные квадратные формы с целочисленными коэффициентами

В математике двоичная квадратная форма — это квадратный однородный многочлен в двух переменных, где a, b, c — коэффициенты. Если коэффициенты могут быть любыми комплексными числами, то большинство результатов не специфичны для случая двух переменных и описываются в терминах общей квадратичной формы. Квадратичная форма с целочисленными коэффициентами называется интегральной двоичной квадратичной формой, часто сокращаемой до двоичной квадратичной формы. Данная статья полностью посвящена интегральным двоичным квадратичным формам. Этот выбор обусловлен их ролью как движущей силы в развитии алгебраической теории чисел. Начиная с конца XIX века, двоичные квадратичные формы уступили своё ведущее положение в алгебраической теории чисел квадратичным и более общим числовым полям, однако достижения, специфичные для двоичных квадратичных форм, всё ещё периодически появляются. Пьер Ферма утверждал, что если p — нечётное простое число, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда , и он сделал аналогичные утверждения относительно уравнений , , и так далее. Все эти уравнения являются квадратичными формами, а теория квадратичных форм предоставляет единый подход к их рассмотрению и доказательству. Другим примером квадратичных форм является уравнение Пелля.

Двоичные квадратичные формы тесно связаны с идеалами в квадратичных полях. Это позволяет вычислить число класса квадратичного поля, подсчитывая количество приведённых двоичных квадратичных форм с заданным дискриминантом. Классическая тета-функция двух переменных имеет вид , и если — положительно определённая квадратичная форма, то является тета-функцией.

Представительство

Бинарная квадратичная форма представляет целое число n, если существуют целые числа x и y, удовлетворяющие уравнению q(x, y) = n. Такое уравнение является представлением числа n формой q.

Сокращение и номера классов

Лагранж доказал, что для каждого значения D существует лишь конечное число классов двоичных квадратичных форм с дискриминантом D. Их количество называется числом классов дискриминанта D. Он описал алгоритм, называемый редукцией, для построения канонического представителя в каждом классе – приведённой формы, коэффициенты которой минимальны в определённом смысле. Гаусс представил более совершенный алгоритм редукции в «Disquisitiones Arithmeticae», который с тех пор является наиболее часто приводимым в учебниках алгоритмом редукции. В 1981 году Загие опубликовал альтернативный алгоритм редукции, который нашёл несколько применений как альтернатива алгоритму Гаусса.

Состав

Композиция чаще всего относится к бинарной операции над примитивными классами эквивалентности форм с одинаковым дискриминантом, одному из самых глубоких открытий Гаусса, которое превращает это множество в конечную абелеву группу, называемую группой классов форм (или просто группой классов) данного дискриминанта. Классы групп с тех пор стали одной из центральных идей в алгебраической теории чисел. С современной точки зрения, группа классов фундаментального дискриминанта изоморфна узкой группе классов квадратного поля с этим дискриминантом. Для отрицательных дискриминантов узкая группа классов совпадает с группой идеалов, но для положительных она может быть в два раза больше. "Композиция" также иногда, в широком смысле, относится к бинарной операции над бинарными квадратичными формами. Слово "широком" указывает на два момента: только определенные пары бинарных квадратичных форм могут быть скомпозированы, и результирующая форма не определена однозначно (хотя ее класс эквивалентности определен). Операция композиции по классам эквивалентности определяется путем определения композиции форм, а затем показа того, что это индуцирует однозначно определенную операцию на классах. "Композиция" также может относиться к бинарной операции над представлениями целых чисел формами. Эта операция существенно сложнее композиции форм, но исторически возникла раньше. Мы рассмотрим такие операции в отдельном разделе ниже. Композиция означает взятие двух квадратичных форм с одинаковым дискриминантом и их объединение для создания квадратичной формы с тем же дискриминантом, что следует из тождества Брахмагупты.

Роды двоичных квадратных форм

Гаусс также рассматривал более широкое понятие эквивалентности, где каждый такой класс назывался родом форм. Каждый род представляет собой объединение конечного числа классов эквивалентности с одинаковым дискриминантом, при этом число классов зависит только от дискриминанта. В контексте бинарных квадратичных форм, роды можно определить либо через классы вычетов чисел, представимых формами, либо с помощью родовых символов, определенных на множестве форм. Третье определение является частным случаем рода квадратичной формы в n переменных: формы принадлежат одному и тому же роду, если они локально эквивалентны во всех рациональных простых числах (включая архимедово место).

История

Существуют косвенные свидетельства о протоисторических знаниях алгебраических тождеств, включающих двоичные квадратные формы. Первая проблема, касающаяся двоичных квадратных форм, заключается в вопросе о существовании или построении представлений целых чисел посредством определенных двоичных квадратных форм. Основными примерами являются решение уравнения Пелла и представление целых чисел в виде суммы двух квадратов. Уравнение Пелла уже рассматривалось индийским математиком Брахмагуптой в VII веке н.э. Несколько столетий спустя его идеи были расширены до полного решения уравнения Пелла, известного как метод чакравала, приписываемый индийским математикам Джаядеве или Бхаскаре II. Проблема представления целых чисел в виде суммы двух квадратов была рассмотрена в III веке Диофантом. В XVII веке, вдохновленный чтением «Арифметики» Диофанта, Ферма сделал несколько наблюдений о представлениях конкретными квадратными формами, включая то, что теперь известно как теорема Ферма о суммах двух квадратов. Эйлер предоставил первые доказательства наблюдений Ферма и добавил некоторые новые гипотезы о представлениях конкретными формами без доказательств. Общая теория квадратных форм была инициирована Лагранжем в 1775 году в его «Исследованиях в арифметике». Лагранж первым осознал, что «последовательная общая теория требует одновременного рассмотрения всех форм». Он первым признал важность дискриминанты и определил существенные понятия эквивалентности и редукции, которые, по словам Вейля, «доминировали над всей теорией квадратных форм с тех пор». Лагранж показал, что существует конечное число классов эквивалентности для заданного дискриминанта, тем самым впервые определив арифметическое число классов. Его введение редукции позволило быстро перечислить классы заданного дискриминанта и предвосхитило возможное развитие инфраструктуры. В 1798 году Лежандр опубликовал «Опыт теории чисел», в котором обобщил работы Эйлера и Лагранжа и добавил некоторые свои собственные вклады, включая первые намеки на операцию композиции форм. Теория была значительно расширена и усовершенствована Гауссом в разделе V «Disquisitiones Arithmeticae». Гаусс представил очень общую версию оператора композиции, позволяющую составлять четные формы различных дискриминантов и импримитивные формы. Он заменил эквивалентность Лагранжа более точным понятием собственной эквивалентности, что позволило ему показать, что примитивные классы для заданного дискриминанта образуют группу относительно операции композиции. Он ввел теорию рода, которая дает мощный способ понять частное от деления классной группы на подгруппу квадратов. (Гаусс и многие последующие авторы писали 2b вместо b; современная конвенция, позволяющая коэффициенту xy быть нечетным, обусловлена Эйзенштейном). Эти исследования Гаусса оказали сильное влияние как на арифметическую теорию квадратных форм в более чем двух переменных, так и на последующее развитие алгебраической теории чисел, где квадратные поля заменяются более общими числовыми полями. Но эффект был не мгновенным. Раздел V «Disquisitiones» содержит поистине революционные идеи и включает в себя очень сложные вычисления, иногда оставленные на усмотрение читателя. Сочетание новизны и сложности сделало раздел V печально известным. Дирихле опубликовал упрощения теории, которые сделали ее доступной для более широкой аудитории. Кульминацией этой работы является его труд «Лекции по теории чисел». Третье издание этого труда включает в себя два дополнения Дедекинда. Дополнение XI представляет теорию колец, и с тех пор, особенно после публикации в 1897 году «Зальбертовского доклада», теория бинарных квадратных форм потеряла свое первостепенное положение в алгебраической теории чисел и была затмеваема более общей теорией алгебраических числовых полей. Тем не менее, работа над бинарными квадратными формами с целыми коэффициентами продолжается и в настоящее время. Это включает в себя многочисленные результаты о квадратных числовых полях, которые часто можно перевести на язык бинарных квадратных форм, но также включает в себя разработки, касающиеся самих форм или возникшие в результате размышлений о формах, включая инфраструктуру Шанкса, алгоритм редукции Загиера, топографии Конвея и реинтерпретацию композиции Бхаргавой через кубы Бхаргавы.