Кіріспе
Иістік бойындағы қашықтық
Доғаның ұзындығы – қисық сызығының бір бөлігіндегі екі нүкте арасындағы қашықтық. Дұрыс емес доға сегментінің ұзындығын, доға сегментін жалғасқан (түзу) сызық сегменттері ретінде жуықтау арқылы анықтау қисықты түзеу деп те аталады. Түзеуге болатын қисықтың түзеу кезіндегі сегменттерінің саны шекті (демек, қисықтың ұзындығы шекті). Егер қисық инъективті және үздіксіз дифференциалданатын функция ретінде параметрленген болса (яғни, туындысы үздіксіз функция болса), онда қисық түзеуге болады (яғни, оның ұзындығы шекті). Инфинитезимальды есептеудің дамуы кейбір жағдайларда жабық түрдегі шешімдер беретін жалпы формулаға әкелді.
Жалпы тәсіл
Жазықтағы қисық сызықты, қисықтағы шекті сандағы нүктелерді (түзу) сызық сегменттерімен қосып, көпбұрышты жол құру арқылы жуықтауға болады. Әрбір сызықтық сегменттің ұзындығын есептеу оңай болғандықтан (мысалы, Евклид кеңістігінде Пифагор теоремасын қолдану арқылы), жуықтаудың жалпы ұзындығын әр сызықтық сегменттің ұзындығын қосу арқылы табуға болады; бұл жуықтау (жинақтамалы) хордалық қашықтық деп аталады. Егер қисық бұрыннан көпбұрышты жол болмаса, кіші ұзындықтағы сызық сегменттерінің санын арттыру қисық ұзындығының жақсырақ жуықтауын береді. Қисықты жалғасқан (түзу) сызық сегменттері ретінде жуықтау арқылы қисық ұзындығын анықтау қисықтың түзуленуі (rectification) деп аталады. Кезектес жуықтаулардың ұзындығы кемімейді және шексіз өсуі мүмкін, бірақ тегіс қисықтар үшін сегменттердің ұзындығы шексіз кішірейгенде, олар шекті мәнге жақындайды. Кейбір қисықтар үшін барлық көпбұрышты жуықтаулардың ұзындығының жоғарғы шегі болатын ең кіші сан болады (түзулену). Мұндай қисықтар түзуленеді деп аталады, ал доға ұзындығы сол сан ретінде анықталады. Белгіленген доға ұзындығы қисықтың басталуы ретінде алынған эталондық нүктеге қатысты бағдар немесе "бағыт" сезімін беру үшін анықталуы мүмкін (қараңыз: қисық бағдары және белгіленген қашықтық).
A signed arc length can be defined to convey a sense of orientation or "direction" with respect to a reference point taken as origin in the curve (see also: curve orientation and signed distance).
Сандық интеграция
Көп жағдайда, тіпті қарапайым қисықтарды қоса алғанда, доға ұзындығы үшін жабық түрдегі шешімдер жоқ және сандық интеграция қажет. Доға ұзындығы интегралының сандық интеграциясы әдетте өте тиімді. Мысалы, бірлік шеңбердің төрттен бір бөлігінің ұзындығын доға ұзындығы интегралын сандық интегралдау арқылы табу мәселесін қарастырайық. Бірлік шеңбердің жоғарғы жартысы интервалы шеңбердің төрттен бір бөлігіне сәйкес келеді деп параметрленеді. Егер болса, бірлік шеңбердің төрттен бірінің ұзындығы:
The 15 point Gauss–Kronrod rule estimate for this integral of 1.570796326808177 differs from the true length of
by 1.3e 11 and the 16 point Gaussian quadrature rule estimate of 1.570796326794727 differs from the true length by only 1.7e 13. This means it is possible to evaluate this integral to almost machine precision with only 16 integrand evaluations.
Осы интеграл үшін 15 нүктелі Гаусс-Кронрод ережесімен алынған 1.570796326808177 шамасы нақты ұзындығынан 1.3e-11-ге дейін алшақтықтанды, ал 16 нүктелі Гаусс квадраттурасы ережесімен алынған 1.570796326794727 шамасы нақты ұзындығынан тек 1.7e-13-ке ғана алшақтықтанды. Бұл, интегралды тек 16 интегралдың мәнін есептеу арқылы дерлік машиналық дәлдікпен бағалауға болады дегенді білдіреді.
The 15 point Gauss–Kronrod rule estimate for this integral of 1.570796326808177 differs from the true length of
by 1.3e 11 and the 16 point Gaussian quadrature rule estimate of 1.570796326794727 differs from the true length by only 1.7e 13. This means it is possible to evaluate this integral to almost machine precision with only 16 integrand evaluations.
Ежелгі дәуір
Математика тарихының көп бөлігінде тіпті ең ұлы ойшылдар да бұрыштық емес доғаның ұзындығын есептеу мүмкін емес деп ойлаған. Архимед қисық астындағы ауданды табу үшін "тозу әдісін" ойлап тапса да, қисықтардың тік сызықтар сияқты нақты ұзындығы болатынына сенгендер азаз болды. Бұл саланың алғашқы қадамдары, көбінесе есептеуде болғандай, жуықтау арқылы жасалды. Адамдар қисықтардың ішіне көпбұрыштар сызып, олардың қабырғаларының ұзындығын есептеу арқылы ұзындықты шамамен анықтауға тырысты. Сегменттер санын көбейтіп, әр сегменттің ұзындығын қысқарту арқылы олар ұзындықтың дәлірек жуықтауын алуға қол жеткізді. Атап айтқанда, шеңберге көп қабырғалы көпбұрыш сызып, π-нің жуық мәнін табуға мүмкіндік алды.
17 ғасыр
17 ғасырда, тозу әдісі бірнеше трансценденттік қисықтарды геометриялық әдістермен нақтылауға мүмкіндік берді: 1645 жылы Эвангелиста Торричеллидің логарифмдік спиралі (кейбір дереккөздер 1650 жылдары Джон Уоллис деп көрсетеді), 1658 жылы Кристофер Реннің циклоидасы және 1691 жылы Готфрид Лейбництің катенариясы. 1659 жылы Уоллис Уильям Нилдің тривиалды емес алгебралық қисық – жартылай кубикалық параболаның алғашқы нақтылануын ашты. Суреттер 145-бетте келтірілген. 91-бетте Уильям Нил Гулиелмус Нелиус деп аталған.
Ұзындығы шексіз қисықтар
Жоғарыда айтылғандай, кейбір қисықтар түзетілмейді. Яғни, көпбұрышты жуықтаулардың ұзындығына жоғарғы шек қойылмайды; ұзындығын кез келген деңгейде үлкен етуге болады. Бұл қисықтардың ұзындығы шексіз деп айтылады. Барлық доғалары (бір ғана нүктеден тұратын доғадан басқа) шексіз ұзындығы бар үздіксіз қисықтар да бар. Мұндай қисықтың мысалы – Кох қисығы. Шексіз ұзындығы бар қисықтың тағы бір мысалы – 0 саны шекарасы болатын кез келген ашық жиын үшін f(x) = x sin(1/x) функциясының графигі, және f(0) = 0. Мұндай қисықтардың мөлшерін анықтау үшін кейде Хаусдорф өлшемі мен Хаусдорф шарасы қолданылады.