Введение
Расстояние вдоль кривой
Длина дуги — это расстояние между двумя точками на участке кривой. Определение длины нерегулярного сегмента дуги путем аппроксимации этого сегмента соединенными (прямыми) отрезками также называется выпрямлением кривой. Кривая, которую можно выпрямить, имеет конечное число отрезков при выпрямлении (следовательно, кривая имеет конечную длину). Если кривую можно параметризовать как инъективную и непрерывно дифференцируемую функцию (то есть, ее производная является непрерывной функцией), то кривая выпрямляема (то есть, имеет конечную длину). Развитие дифференциального исчисления привело к созданию общей формулы, которая в некоторых случаях позволяет получить аналитические решения.
Общий подход
Кривую на плоскости можно приблизить, соединив конечное число точек на кривой с помощью (прямых) линейных отрезков для создания ломаной линии. Поскольку длину каждого линейного отрезка легко вычислить (например, с помощью теоремы Пифагора в евклидовом пространстве), общая длина приближения может быть найдена путем суммирования длин каждого линейного отрезка; это приближение известно как (кумулятивное) расстояние по хордам. Если кривая изначально не является ломаной линией, то использование прогрессивно большего числа отрезков меньшей длины приведет к более точным приближениям длины кривой. Такой способ определения длины кривой путем ее аппроксимации соединенными (прямыми) отрезками называется выпрямлением кривой. Длины последовательных приближений не убывают и могут неограниченно возрастать, но для гладких кривых они стремятся к конечному пределу при стремлении длин отрезков к произвольно малым значениям. Для некоторых кривых существует наименьшее число, являющееся верхней границей длины всех ломаных приближений (выпрямлений). Эти кривые называются выпрямляемыми, а длина дуги определяется как это число. Можно определить знакомую длину дуги, чтобы передать ощущение ориентации или "направления" относительно опорной точки, принятой за начало отсчета на кривой (см. также: ориентация кривой и знаковое расстояние).
A signed arc length can be defined to convey a sense of orientation or "direction" with respect to a reference point taken as origin in the curve (see also: curve orientation and signed distance).
Числовая интеграция
В большинстве случаев, включая даже простые кривые, не существует аналитических решений для длины дуги, и необходимо использовать численное интегрирование. Численное интегрирование интеграла длины дуги обычно очень эффективно. Например, рассмотрим задачу определения длины четверти единичной окружности путем численного интегрирования интеграла длины дуги. Верхнюю половину единичной окружности можно параметризовать как , а интервал соответствует четверти окружности. Поскольку и , то длина четверти единичной окружности равна .
The 15 point Gauss–Kronrod rule estimate for this integral of 1.570796326808177 differs from the true length of
by 1.3e 11 and the 16 point Gaussian quadrature rule estimate of 1.570796326794727 differs from the true length by only 1.7e 13. This means it is possible to evaluate this integral to almost machine precision with only 16 integrand evaluations.
Оценка, полученная по 15-точечному правилу Гаусса — Кронрода для этого интеграла, равная 1,570796326808177, отличается от истинной длины на 1,3e-11, а оценка, полученная по 16-точечному правилу Гаусса, равная 1,570796326794727, отличается от истинной длины всего на 1,7e-13. Это означает, что можно вычислить этот интеграл с точностью, близкой к предельной для используемой вычислительной машины, всего с 16 вычислениями подынтегральной функции.
The 15 point Gauss–Kronrod rule estimate for this integral of 1.570796326808177 differs from the true length of
by 1.3e 11 and the 16 point Gaussian quadrature rule estimate of 1.570796326794727 differs from the true length by only 1.7e 13. This means it is possible to evaluate this integral to almost machine precision with only 16 integrand evaluations.
Античность
На протяжении большей части истории математики даже величайшие умы считали невозможным вычислить длину неправильной дуги. Хотя Архимед первым предложил метод нахождения площади под кривой, известный как "метод исчерпания", немногие верили, что кривые вообще могут иметь определенную длину, подобно прямым линиям. Первые шаги в этой области, как это часто бывает в математическом анализе, были сделаны с помощью приближения. Люди начали вписывать многоугольники внутрь кривых и вычислять длину их сторон, чтобы получить приблизительное значение длины кривой. Увеличивая количество сегментов и уменьшая длину каждого из них, они достигали всё более точного приближения. В частности, вписывая в круг многоугольник с большим количеством сторон, они могли находить приближенные значения числа π.
17 век
В 17 веке метод исчерпания позволил геометрически определить длину дуги нескольких трансцендентных кривых: логарифмической спирали, исследованной Эвангелистой Торричелли в 1645 году (по некоторым данным, Джоном Уоллисом в 1650-х годах), циклоиды, изученной Кристофером Реном в 1658 году, и катенарии, определенной Готфридом Лейбницем в 1691 году. В 1659 году Уоллис отметил открытие Уильямом Нилом первой длины дуги нетривиальной алгебраической кривой – полукубической параболы. Сопроводительные рисунки представлены на странице 145. На странице 91 Уильям Нил упоминается как Гулиелмус Нелиус.
Кривые с бесконечной длиной
Как упоминалось выше, некоторые кривые не являются выпрямляемыми. То есть, не существует верхней границы для длин полигональных приближений; длину можно сделать сколь угодно большой. Неформально такие кривые называют кривыми бесконечной длины. Существуют непрерывные кривые, на которых любая дуга (за исключением дуги, состоящей из одной точки) имеет бесконечную длину. Примером такой кривой является кривая Коха. Другим примером кривой бесконечной длины является график функции, определяемой как f(x) = x sin(1/x) для любого открытого множества, имеющего 0 в качестве одной из границ, и f(0) = 0. Иногда размерность Хаусдорфа и мера Хаусдорфа используются для количественной оценки размера таких кривых.