Кіріспе

Бейес ықтималдығында Джеффридің априорлық таралымы – параметр кеңістігі үшін ақпараттық емес априорлық таралым; оның тығыздық функциясы Фишер ақпарат матрицасының анықтамасының квадрат түбіріне пропорционалды:

Оның басты ерекшелігі – параметр векторының координаттары өзгерген кезде инвариантты болып қалады. Яғни, Джеффридің априорлық таралымын қолданып ықтималдық кеңістігінің көлеміне тағайындалған салыстырмалы ықтималдық, Джеффридің априорлық таралымын анықтау үшін қолданылған параметризацияға қарамастан, бірдей болады. Бұл оны масштаб параметрлерімен қолдану үшін ерекше қызығушылық тудырады. Мысалы, Бернулли таралымын оқиғаның болу ықтималдығымен немесе мүмкіндіктер қатынасымен параметризациялауға болады. Бұл жағдайда қарапайым тегіс априорлық таралым осы қайта параметризацияға инвариантты емес, ал Джеффридің априорлық таралымы инвариантты. Экспоненциалдық отбасылық модельдердің максималды ықтималдық бағалауында Джеффридің априорлық таралымына негізделген түзету шарттары нүктелік бағалаудағы асимптотикалық бұрмалануды азайтуы көрсетілді.

Атрибуттары

Практикалық және математикалық тұрғыдан алғанда, осы ақпараттық емес алдыңғы шартты басқаларының орнына пайдаланудың негізді себебі, конъюгатты үлестірулер отбасының лимиті арқылы алынғандар сияқты, ықтималдық кеңістігінің көлемінің салыстырмалы ықтималдығы, параметр кеңістігін сипаттауға таңдалған параметрлік айнымалылар жиынтығына тәуелді болмайды. Кейде Джеффридің алдыңғы шарты нормалдануға келмейді, сондықтан ол дұрыс емес алдыңғы шарт болып табылады. Мысалы, Гаусс таралуының белгілі дисперсиясы жағдайында таралу орташасы үшін Джеффридің алдыңғы шарты бүкіл нақты сандар осында біркелкі болады. Джеффридің алдыңғы шартын пайдалану ықтималдық принципінің күшті нұсқасын бұзады, оны көптеген, бірақ барлық статистиктер қабылдамайды. Джеффридің алдыңғы шартын пайдаланғанда, тура жасалатын қорытындылар тек байқалған деректердің ықтималдығына ғана емес, сонымен қатар эксперименттік жобамен анықталған барлық мүмкін эксперименттік нәтижелердің кеңістігіне де байланысты, өйткені Фишер ақпараты таңдалған кеңістік бойынша күту арқылы есептеледі. Сәйкесінше, Джеффридің алдыңғы шарты және оны қолдану арқылы жасалған қорытындылар, екі эксперименттің ықтималдық функциялары бірдей болған жағдайда да, бірдей параметрді қамтитын екі эксперимент үшін әртүрлі болуы мүмкін – бұл ықтималдық принципінің күшті нұсқасын бұзу болып табылады.

Тасуының ең төменгі ұзындығы

Статистикадағы минималды сипаттама ұзындығы тәсілінің мақсаты – деректерді мүмкіндігінше ықшам түрде сипаттау болып табылады, мұнда сипаттаманың ұзындығы қолданылатын кодтың биттерімен өлшендіріледі. Параметрлік үлестірімдер отбасы үшін, кодты параметрленген отбасыдағы үлестірімдердің біріне сүйенген ең жақсы кодпен салыстырады. Басты нәтиже – экспоненциалдық отбасыларда, үлгі көлемі үлкен болғанда асимптотикалық тұрғыдан, Джеффридің алдынғы ықтималдығымен экспоненциалдық отбасы элементтерінің қоспасынан құралған үлестірімге негізделген код оптималды болады. Бұл нәтиже, егер параметрлер жиыны толық параметр кеңістігінің ішкі бөлігіндегі ықшам жиынға шектелген болса, сақталады. Толық параметр қолданылса, нәтиженің өңделген нұсқасы қолданылуы керек.

Мысалдар

Джеффридің алдын ала ықтималдығы параметрге (немесе параметрлер жиынтығына) статистикалық модельге сәйкес келеді.

Бернулли үкімі

"Бас" түсу ықтималдығы p және "құйрық" түсу ықтималдығы 1-p болатын монета үшін, берілген p үшін ықтималдығы бар. Параметр p үшін Джеффрис априорлы бөлісі –

Бұл арксинус бөлісі және бета-бөлісімен p параметрінде, α=1/2 және β=1/2 параметрінде тең. Сонымен қатар, егер p=1/2 болса, онда

Яғни, p үшін Джеффрис априорлы бөлісі [0,1] аралығында біркелкі. Балама түрінде, p бүкіл [0,2π) шеңберінде біркелкі.

Мүмкіндікпен сәйкестендірудің алдыңғы

1963 жылы Уэлч пен Пирс скалярлық параметр θ үшін Джеффридің алдыңғы ықтималдығының "ықтималдыққа сәйкестік" принципін сақтайтынын көрсетті, яғни, кейінгі болжамдық ықтималдықтар жиіліктік ықтималдықтармен сәйкес келеді, ал таңдалған ендегі сенімділік интервалдары жиіліктік сенімділік интервалдарымен толыққандай келіседі. Соңынан Пирс бұл көп параметрлі жағдайда орынды емес екенін көрсетті, оның орнына Фишер ақпаратын қамтитын жартылай дифференциалдық теңдеуді шешетін ықтималдық таралуы ретінде ғана анықталатын ықтималдыққа сәйкестік ететін алдыңғы ықтималдықтар (priors) тұжырымын ұсынды.

α-паралельді алдыңғы

Ақпараттық геометрия құралдарын қолдана отырып, Джеффри алдынан (prior) статистикалық модельдің геометриялық ақпаратын енгізетін, параметрлер координатасының өзгеруіне қатысты инвариантты болатын алдынан алу үшін оны жалпылауға болады. Арнайы жағдай, Вейл алдыны деп аталатын, Вейл манифольдындағы көлемдік форма ретінде анықталады.