Введение
Разрушение конформной симметрии на квантовом уровне
Конформная аномалия, аномалия масштаба, аномалия следа или аномалия Вейля — это аномалия, то есть квантовое явление, нарушающее конформную симметрию классической теории. В квантовой теории поля, когда мы полагаем равным нулю, у нас есть только диаграммы Фейнмана на дереве, которые представляют собой «классическую» теорию (эквивалентную фредгольмовской формулировке классической теории поля). Диаграммы Фейнмана в одну петлю (в N петель) пропорциональны . Если ток сохраняется классически, но развивается дивергенция на уровне петель в квантовой теории поля, мы говорим, что существует «аномалия». Известным примером является аномалия осевого тока, когда безмассовые фермионы имеют классически сохраняющийся осевой ток, но который приобретает ненулевую дивергенцию в присутствии калибровочных полей. Теория, инвариантная относительно масштаба, то есть не содержащая масштабов массы, имеет сохраняющийся ток Нётер, называемый «током масштаба». Он выводится путем выполнения преобразований масштаба над координатами пространства-времени. Дивергенция тока масштаба равна следу тензора напряжений-энергии. При отсутствии каких-либо масштабов массы след тензора напряжений-энергии обращается в нуль, следовательно, ток «классически сохраняется», а теория классически инвариантна относительно масштаба. Однако на уровне петель ток масштаба может приобрести ненулевую дивергенцию. Это называется «аномалией масштаба» или «аномалией следа» и представляет собой порождение массы квантовой механикой. Она связана с группой перенормировки, или «зависимостью констант связи» от масштаба, при рассмотрении их в различных масштабах массы. Хотя это можно сформулировать без обращения к гравитации, это становится более мощным, когда рассматривается общая теория относительности. Классически конформная теория с произвольной фоновой метрикой имеет действие, инвариантное относительно перемасштабирования фоновой метрики и других полей материи, называемых преобразованиями Вейля. Обратите внимание, что если мы перемасштабируем координаты, это является общим преобразованием координат и сливается с общей ковариантностью — точной симметрией общей теории относительности, и, следовательно, это становится неудовлетворительным способом формулирования симметрии масштаба (общая ковариантность подразумевает сохраняющийся тензор напряжений-энергии; «гравитационная аномалия» представляет собой квантовое нарушение общей ковариантности и не должна путаться с инвариантностью Вейля (масштаба)). Однако при преобразованиях Вейля мы не перемасштабируем координаты теории, а скорее метрику и другие поля материи. В понимании Вейля масса (или длина) определяется метрикой, а координаты — это просто безразмерные устройства для ведения учёта. Следовательно, симметрия Вейля является правильным выражением симметрии масштаба при включении гравитации, и тогда будет существовать сохраняющийся ток Вейля. Существует обширная литература, посвященная спонтанному нарушению симметрии Вейля в четырех измерениях, приводящему к динамически генерируемой массе Планка вместе с инфляцией. Эти теории, по-видимому, хорошо согласуются с наблюдательной космологией. Таким образом, конформная квантовая теория — это теория, интеграл по траекториям или функция разделения которой не изменяется при перемасштабировании метрики (вместе с другими полями). Вариация действия по отношению к фоновой метрике пропорциональна тензору напряжений-энергии, и, следовательно, вариация по отношению к конформному перемасштабированию пропорциональна следу тензора напряжений-энергии. В результате след тензора напряжений-энергии должен обращаться в нуль для конформно инвариантной теории. След тензора напряжений-энергии появляется в дивергенции тока Вейля как аномалия, тем самым нарушая инвариантность Вейля (или масштаба) теории.
A conformal anomaly, scale anomaly, trace anomaly or Weyl anomaly is an anomaly, i. e. a quantum phenomenon that breaks the conformal symmetry of the classical theory. In quantum field theory when we set to zero we have only Feynman tree diagrams, which is a "classical" theory (equivalent to the Fredholm formulation of a classical field theory). One loop (N loop) Feynman diagrams are proportional to If a current is conserved classically but develops a divergence at loop level in quantum field theory , we say there is an "anomaly." A famous example is the axial current anomaly where massless fermions will have a classically conserved axial current, but which develops a nonzero divergence in the presence of gauge fields. A scale invariant theory, one in which there are no mass scales, will have a conserved Noether current called the "scale current." This is derived by performing scale transformations on the coordinates of space time. The divergence of the scale current is then the trace of the stress tensor. In the absence of any mass scales the stress tensor trace vanishes , hence the current is "classically conserved" and the theory is classically scale invariant. However, at loop level the scale current can develop a nonzero divergence. This is called the "scale anomaly" or "trace anomaly" and represents the generation of mass
by quantum mechanics. It is related to the renormalization group,
or the "running of coupling constants," when they are viewed at different mass scales. While this can be formulated without reference to gravity, it becomes more powerful
when general relativity is considered. A classically conformal theory with arbitrary background metric has an action that is invariant under rescalings of the background metric and other matter fields,
called Weyl transformations. Note that if we rescale the coordinates this is a general coordinate transformation, and merges with general covariance, the exact symmetry of general relativity, and thus it becomes an unsatisfactory way to formulate scale symmetry (general covariance implies a conserved stress tensor; a "gravitational anomaly" represents a quantum breakdown of general covariance, and should not be confused with Weyl (scale) invariance). However, under Weyl transformations we do not rescale the coordinates of the theory, but rather the metric and other matter fields. In the sense of Weyl, mass (or length) are defined by the metric, and coordinates are simply scale less book keeping devices. Hence Weyl symmetry is the correct statement of scale symmetry when gravitation is incorporated
and there will then be a conserved Weyl current. There is an extensive literature involving spontaneous breaking of Weyl symmetry in
four dimensions, leading to a dynamically generate Planck mass together with inflation. These theories appear to be in good agreement with observational cosmology. A conformal quantum theory is therefore one whose path integral, or partition function, is unchanged by rescaling the metric (together with other fields). The variation of the action with respect to the background metric is proportional to the stress tensor, and therefore the variation with respect to a conformal rescaling is proportional to the trace of the stress tensor. As a result, the trace of the stress tensor must vanish for a conformally invariant theory. The trace of the stress tensor appears in the divergence of the Weyl current as an anomaly, thus breaking the Weyl (or Scale) invariance of the theory.
Теория струн
Теория струн не является классически инвариантной относительно масштаба, поскольку она определяется с использованием массивной "константы струны". В теории струн конформная симметрия на мировой поверхности является локальной симметрией Вейля. Кроме того, существует потенциальная гравитационная аномалия в двух измерениях, и эта аномалия должна компенсироваться для обеспечения непротиворечивости теории. Требуемая компенсация гравитационной аномалии подразумевает, что размерность пространства-времени должна быть равна критической размерности, которая составляет 26 в случае бозонной теории струн или 10 в случае суперструнной теории. Этот случай называется критической теорией струн. Существуют альтернативные подходы, известные как некритические теории струн, в которых размерность пространства-времени может быть меньше 26 для бозонной теории или меньше 10 для суперструнной, то есть четырехмерный случай является вполне допустимым в этом контексте. Однако от некоторых интуитивных постулатов, таких как допустимость плоского пространства в качестве фона, необходимо отказаться.