Кіріспе
Статистикалық гипотезалық тест
Уилкоксонның қолтаңбаланған рангілік тесті – бұл статистикалық гипотезаларды тексеруге арналған немесе параметрлік емес рангілік тест. Ол деректер үлгісіне сүйенетін популяцияның орналасуын тексеру үшін немесе екі сәйкес үлгіні пайдаланып екі популяцияның орналасуын салыстыру үшін қолданылады. Бір үлгілі нұсқасы бір үлгідегі Студенттің t-тестіне ұқсас мақсатта қолданылады. Екі сәйкес үлгі үшін бұл жұпталған айырмашылықтар тесті, Студенттің жұпталған t-тесті сияқты (сонымен қатар "жұпталған үлгілерге арналған t-тесті" немесе "тәуелді үлгілерге арналған t-тесті" деп те аталады). Популяция орташалары маңызды болмаған жағдайда Уилкоксон тесті t-тестіне жақсы балама бола алады; мысалы, популяцияның медианасы нөлге тең емес пе, әлде бір популяциядан алынған үлгінің екінші популяциядан алынған үлгіден үлкен болу ықтималдығы 50%-дан жоғары ма, соны тексеру қажет болғанда.
Тарих
Тест Франк Уилкоксонның (1892–1965) есімімен аталған, ол бір мақалада осы тестті және екі тәуелсіз үлгі үшін рангтар қосындысы тестісін ұсынған. Тестіні Сидни Сигель (1956) өзінің параметрлік емес статистика туралы ықпалды оқулығында танымал етті. Сигель тест статистикасы үшін T символын қолданды, сондықтан тест кейде Уилкоксонның T тестісі деп аталады.
Нөлдер мен теңдіктер
Нақты деректерде кейде мәні нөлге тең немесе бір-бірімен сәйкес келетін үлгілер кездеседі. Бұл, кейбір жағдайларда, бір үлгі үшін немесе жұпталған үлгілер үшін дегенді білдіреді. Мұндай жағдай дискретті деректерде жиі кездеседі. Бұл болғанда, жоғарыда сипатталған тест процедурасы әдетте анықталмайды, себебі деректерді бірегей түрде реттеу мүмкін емес. (Ең болмағанда, бір ғана үлгі нөлге тең болса және басқа нөлдер немесе теңдіктер болмаса, бұл ережеден тыс жағдай болып табылады.) Осы себепті, тест статистикасын түзету қажет.
Нөлдер
Уилкоксонның бастапқы мақаласында нөлге тең байқаулар (немесе жұпталған үлгілер жағдайында айырмашылықтар) туралы мәселе қарастырылмаған. Алайда, кейінгі зерттеулерде ол үлгіден нөлдерді алып тастауды ұсынды. Содан кейін стандартты қол қойылған дәрежелік тестті алынған деректерге қолдануға болады, егер байланыстар болмаса. Бұл әдіс қазір қысқартылған үлгілеу процедурасы деп аталады. Пратт қысқартылған үлгілеу процедурасы парадоксалды мінез-құлыққа әкелуі мүмкін екенін байқады. Ол келесі мысалды келтіреді. Бір үлгідегі жағдайды және келесі он үш байқауды қарастырайық: 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, −18. Қысқартылған үлгілеу процедурасы нөлді алып тастайды. Қалған деректерге қол қойылған қатарларды тағайындайды: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, −12. Бұл бір жақты p мәніне ие, сондықтан үлгі кез келген маңыздылық деңгейінде айтарлықтай оң емес. Пратт байқауларды азайту деректерді айтарлықтай оң көрсетуі керек деп күтеді. Алайда, егер нөлдік байқау 2-ден кем мөлшерде азайса немесе барлық байқаулар 1-ден кем мөлшерде азайса, онда қол қойылған қатарлар: −1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, −13 болады. Бұл бір жақты p мәніне ие, сондықтан үлгі кез келген маңыздылық деңгейінде айтарлықтай оң деп есептеледі. Парадокс мынада: егер аралық және болса, онда елеусіз үлгіні азайту оны айтарлықтай оң болып көрінуіне себеп болады. Сондықтан Пратт қол қойылған дәрежелік нөлдік процедураны ұсынды. Бұл процедурада үлгілерді жіктеу кезінде нөлдер де кіреді. Алайда, олар тест статистикасынан шығарылады, немесе эквивалентті түрде, Пратт дәлелдеді, қол қойылған дәрежелік нөлдік процедурасы қысқартылған үлгілеу процедурасында жоқ бірнеше қажетті қасиеттерге ие: байқалған мәндерді арттыру айтарлықтай оң үлгіні маңызды емес етпейді және маңызды емес үлгіні айтарлықтай теріс етпейді. Егер байқаулардың таралуы симметриялы болса, онда тест бас тартпайтын мәндер аралық құрайды. Үлгі айтарлықтай оң, маңызды емес немесе айтарлықтай теріс, егер және тек егер нөлдерге кездейсоқ нөлдік емес белгілер тағайындалғанда, егер және тек егер нөлдер нөлдік емес мәндермен ауыстырылғанда, олар кез келген нөлдік емес байқаудан абсолюттік мәнде кішірек болса. Белгілі бір маңыздылық шегі үшін және дәл деңгейі бар кездейсоқ тестілеу үшін байқаулар жиынтығын айтарлықтай оң (немесе айтарлықтай теріс) деп санау ықтималдығы байқаулардың азаймайтын (немесе өспейтін) функциясы болып табылады. Пратт қол қойылған дәрежелік нөлдік процедураны байластықты шешу үшін орташа дәрежелік процедурамен біріктіргенде, алынған тест барлық үшін және тәуелсіз болатын кем дегенде бір тұрақты айырмашылықты көрсететін балама гипотезаға қарсы дәйекті тест болып табылады. Қол қойылған дәрежелік нөлдік процедурасының кемшілігі, нөлдер пайда болған кезде, тест статистикасының нөлдік таралуы өзгереді, сондықтан p мәндерінің кестелерін енді қолдануға болмайды. Егер деректер бірдей арақашықтықтағы санаттармен Ликерт шкаласында берілген болса, онда қол қойылған дәрежелік нөлдік процедурасы I типті қателік деңгейін сақтауға қысқартылған үлгілеу процедурасынан гөрі көбірек мүмкіндік береді. Статистикалық тиімділік тұрғысынан алғанда, нөлдерді басқарудың толық ережесі жоқ. Коновер нөлдік және балама гипотезалардың мысалдарын тапты, бұл Вилкоксон мен Пратт әдістерінің бірі де екіншісінен біркелкі жақсы емес екенін көрсетеді. Дискретті біркелкі таралуды солдан оңға ықтималдық сызықтық түрде өсетін таралумен салыстырғанда, Пратт әдісі Вилкоксоннан жақсы. Бинoмиалды таралуды нөлге қарай сынағанда, әрбір Бернулли сынағының параметрі , Вилкоксон әдісі Пратттан жақсы.
0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, −18. The reduced sample procedure removes the zero. To the remaining data, it assigns the signed ranks:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, −12. This has a one sided p value of , and therefore the sample is not significantly positive at any significance level Pratt argues that one would expect that decreasing the observations should certainly not make the data appear more positive. However, if the zero observation is decreased by an amount less than 2, or if all observations are decreased by an amount less than 1, then the signed ranks become:
−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, −13. This has a one sided p value of Therefore the sample would be judged significantly positive at any significance level The paradox is that, if is between and , then decreasing an insignificant sample causes it to appear significantly positive. Pratt therefore proposed the signed rank zero procedure. This procedure includes the zeros when ranking the samples. However, it excludes them from the test statistic, or equivalently it defines Pratt proved that the signed rank zero procedure has several desirable behaviors not shared by the reduced sample procedure:
Increasing the observed values does not make a significantly positive sample insignificant, and it does not make an insignificant sample significantly negative. If the distribution of the observations is symmetric, then the values of which the test does not reject form an interval. A sample is significantly positive, not significant, or significantly negative, if and only if it is so when the zeros are assigned arbitrary non zero signs, if and only if it is so when the zeros are replaced with non zero values which are smaller in absolute value than any non zero observation. For a fixed significance threshold , and for a test which is randomized to have level exactly , the probability of calling a set of observations significantly positive (respectively, significantly negative) is a non decreasing (respectively, non increasing) function of the observations. Pratt remarks that, when the signed rank zero procedure is combined with the average rank procedure for resolving ties, the resulting test is a consistent test against the alternative hypothesis that, for all , and differ by at least a fixed constant that is independent of and
The signed rank zero procedure has the disadvantage that, when zeros occur, the null distribution of the test statistic changes, so tables of p values can no longer be used. When the data is on a Likert scale with equally spaced categories, the signed rank zero procedure is more likely to maintain the Type I error rate than the reduced sample procedure. From the viewpoint of statistical efficiency, there is no perfect rule for handling zeros. Conover found examples of null and alternative hypotheses that show that neither Wilcoxon's and Pratt's methods are uniformly better than the other. When comparing a discrete uniform distribution to a distribution where probabilities linearly increase from left to right, Pratt's method outperforms Wilcoxon's. When testing a binomial distribution centered at zero to see whether the parameter of each Bernoulli trial is , Wilcoxon's method outperforms Pratt's.
Баламалы статистика
Вилкоксон бастапқыда Вилкоксонның сандық жиынтық статистикасын анықтады, және Сигел сияқты ерте авторлар Вилкоксонның ізімен келді. Бұл екі жақты гипотезалық сынақтар үшін қолайлы, бірақ бір жақты сынақтар үшін қолданылмайды. 1 мен n аралығында сандарды тағайындаудың орнына, 0 мен аралығында сандарды тағайындау да мүмкін. Бұлар өзгертілген сандар деп аталады. Өзгертілген таңбалы сандық жиынтық, өзгертілген оң сандық жиынтық және өзгертілген теріс сандық жиынтық, , және сандарымен салыстырылатын, бірақ қалыпты сандардың орнына өзгертілген сандарды қолдана отырып анықталады. Екі тәуелсіз таратылған кездейсоқ айнымалының қосындысының оң болу ықтималдығы былай бағалануы мүмкін: Үшінші таралымдармен шектелген жағдайда, бұл -нің ең төмен дисперсиялы бейтарап бағалаушысы болып табылады.
Эффекттің өлшемі
Қолтаңбаланған ранг сынағы үшін әсер өлшемін есептеу үшін ранг бисериалдық корреляцияны пайдалануға болады. Егер T сынақ статистикасы берілсе, ранг корреляциясы r, сынақ статистикасы T-ны жалпы ранг сомасы S-қа бөлгенге тең, яғни r = T/S. Жоғарыдағы мысалды пайдалансақ, сынақ статистикасы T = 9 болады. 9 үлгінің жалпы ранг сомасы S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45-ке тең. Сондықтан, ранг корреляциясы 9/45, демек r = 0.20. Егер сынақ статистикасы T берілсе, ранг корреляциясын есептеудің тағы бір жолы – екі ранг сомасы арасындағы пропорцияның айырмасы арқылы, яғни Кербидің (2014) қарапайым айырма формуласымен. ALGLIB C++, C#, Delphi, Visual Basic және т.б. тілдерінде Вилкоксон қолтаңбаланған ранг сынағын іске асыруды қамтиды. GNU Octave wilcoxon тест функциясы арқылы сынақтың әртүрлі бір және екі жақты нұсқаларын іске асырады. SciPy Python-да Вилкоксон қолтаңбаланған ранг сынағының іске асырылуын қамтиды. Accord.NET NET қолданбалары үшін C#-те Вилкоксон қолтаңбаланған ранг сынағының іске асырылуын қамтиды. MATLAB бұл сынақты "Wilcoxon rank sum test" арқылы іске асырады, сондай-ақ [p,h] = signrank(x,y) функциясы сынақ шешімін көрсететін логикалық мәнді де қайтарады. Нәтиже h = 1 нөлдік гипотезаны қабылдамауды, ал h = 0 нәтижесі 5% маңыздылық деңгейінде нөлдік гипотезаны қабылдамауды білдіреді. Julia HypothesisTests пакеті Вилкоксон қолтаңбаланған ранг сынағын "value(SignedRankTest(x, y)) " түрінде қамтиды. SAS PROC UNIVARIATE "Орындылықты тексеру" тақырыбында Вилкоксон қолтаңбаланған ранг сынағын "Қолтаңбаланған ранг" ретінде қамтиды. Бұл процедура W статистикасы емес, S статистикасын есептесе де, алынған p мәнін осы сынақ үшін пайдалануға болады.