Өзіндік сипаттаушы сандар – математикадағы қызықты концепция. Бұл сандарда әр цифр өзінің санына сәйкес келеді. Базалар бойынша мысалдар мен қасиеттері келтірілген.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада өзіндік сипаттамалық сан – берілген b негізінде b цифрдан тұратын m бүтін саны, ондағы n позициясындағы әрбір цифр (ең маңызды цифр 0 позициясында, ал ең кіші маңызды цифр b-1 позициясында болады) m санында n цифрының неше рет кездесетінін көрсетеді.
In mathematics, a self descriptive number is an integer m that in a given base b is b digits long in which each digit d at position n (the most significant digit being at position 0 and the least significant at position b−1) counts how many instances of digit n are in m.
Әр түрлі негіздерде
2, 3 немесе 6-базаларда өзіндік сипаттамалық сандар жоқ. 7 және одан үлкен негіздерде дәл бір өзін-өзі сипаттайтын сан бар: , онда 0 цифрының b−4 данасы, 1 цифрының екі данасы, 2 цифрының бір данасы, b – 4 цифрының бір данасы және басқа цифрлардың бірде-бір данасы жоқ. Келесі кестеде бірнеше таңдалған базалардағы кейбір өзіндік сипаттамалық сандар келтірілген:
There are no self descriptive numbers in bases 2, 3 or 6. In bases 7 and greater, there is exactly one self descriptive number: , which has b−4 instances of the digit 0, two instances of the digit 1, one instance of the digit 2, one instance of digit b – 4, and no instances of any other digits. The following table lists some self descriptive numbers in a few selected bases:
База Өзіндік сипаттамалық сандар 10-дық санау жүйесіндегі мәндері 41210, 2020100, 1365212001425732110003893058421010008946176952100100022533171310621000100062100010001172100001000186492227801128210000010006073061476032 16C21000000000100013983676842985394176 36W21000 (Эллипсис 23 нөлді қалдырады) Шамамен. 9.4733 × 1055
BaseSelf descriptive numbers Values in base 10 41210, 2020100, 1365212001425732110003893058421010008946176952100100022533171310621000100062100010001172100001000186492227801128210000010006073061476032 16C21000000000100013983676842985394176 36W21000 0001000(Ellipsis omits 23 zeroes)Approx. 9.4733 × 1055
Қасиеттері
Кестеде көрсетілген сандардан, барлық өзіндік сипаттамалық сандардың сандар қосындысы олардың негізіне тең және олар сол негіздің еселігі болып табылады көрінеді. Бірінші факті өзіндік сипаттамалық санның анықтамасынан, сандар қосындысы сандардың жалпы санына тең, ал ол негізге тең болғандықтан, тікелей шығады. Өзіндік сипаттамалық санның b негізінде b-ге еселі болуы керек (әйтпесе, өзіндік сипаттамалық санның соңғы цифры 0 болуы керек) дегенді қарама-қайшылық арқылы мынадайша дәлелдеуге болады: b негізіндегі b цифрынан тұратын, бірақ b-ге еселі емес өзіндік сипаттамалық сан m бар деп есептейік. b-1 позициясындағы цифр кем дегенде 1 болуы керек, яғни m-де b-1 цифрының кем дегенде бір мысалы болуы керек. b-1 цифры қандай x позициясында болса да, m-де x цифрының кем дегенде b-1 мысалы болуы керек. Демек, бізде кем дегенде 1 цифрының бір мысалы және b-1 x цифрының мысалы бар. Егер x > 1 болса, онда m саны b-ден көп цифрдан тұрады, бұл біздің бастапқы тұжырымымызға қайшы келеді. Ал егер x = 0 немесе 1 болса, онда да қайшылыққа жетеміз. Осыдан b негізіндегі өзіндік сипаттамалық сан, b негізіндегі Харшад саны болып табылады.
From the numbers listed in the table, it would seem that all self descriptive numbers have digit sums equal to their base, and that they're multiples of that base. The first fact follows trivially from the fact that the digit sum equals the total number of digits, which is equal to the base, from the definition of self descriptive number. That a self descriptive number in base b must be a multiple of that base (or equivalently, that the last digit of the self descriptive number must be 0) can be proven by contradiction as follows: assume that there is in fact a self descriptive number m in base b that is b digits long but not a multiple of b. The digit at position b – 1 must be at least 1, meaning that there is at least one instance of the digit b – 1 in m. At whatever position x that digit b – 1 falls, there must be at least b – 1 instances of digit x in m. Therefore, we have at least one instance of the digit 1, and b – 1 instances of x. If x > 1, then m has more than b digits, leading to a contradiction of our initial statement. And if x = 0 or 1, that also leads to a contradiction. It follows that a self descriptive number in base b is a Harshad number in base b.
Автобиографиялық нөмірлер
Өзін-өзі сипаттау сандарының жалпылануы, автобиографиялық сандар деп аталады, олар негізден кем сандарды қамтуға мүмкіндік береді, егер санға кіретін цифрлар оны толық сипаттауға жеткілікті болса. Мысалы, 10-дық санау жүйесінде 3211000 санында 3 нөл, 2 бірлік, 1 екілік және 1 үштік бар. Бұл, санға қанша соңғы нөл қосылатынына байланысты, олар қалған цифрлар туралы қосымша ақпарат бермейді. Бастапқы нөлдер жазылмағандықтан, әрбір автобиографиялық санда кем дегенде бір нөл болады, сондықтан оның бірінші цифры нөл емес. Егер цифрлар кері тәртіппен қарастырылатын болса: бірліктер нөлдердің санын, ондықтар бірліктердің санын және т.б. көрсетеді деген гипотетикалық жағдайды қарастыратын болсақ, мұндай өзін-өзі сипаттау сандары жоқ. Ондай санды құрастыруға тырысу көбірек цифрларды қосу қажеттілігіне алып келеді.
A generalization of the self descriptive numbers, called the autobiographical numbers, allow fewer digits than the base, as long as the digits that are included in the number suffice to completely describe it. e. g. in base 10, 3211000 has 3 zeros, 2 ones, 1 two, and 1 three. Note that this depends on being allowed to include as many trailing zeros as suit, without them adding any further information about the other present digits. Because leading zeros are not written down, every autobiographical number contains at least one zero, so that its first digit is nonzero. Considering a hypothetical case where the digits are treated in the opposite order: the units is the count of zeros, the 10s the count of ones, and so on, there are no such self describing numbers. Attempts to construct one result in an explosive requirement to add more and more digits.