Введение
Целые числа имеют уникальные простые разложения на множители.
В математике фундаментальная теорема арифметики, также называемая теоремой единственности разложения на множители и теоремой о простом разложении, утверждает, что любое целое число, большее 1, может быть представлено однозначно в виде произведения простых чисел, с точностью до порядка сомножителей. Например,
Теорема говорит о двух вещах в этом примере: во-первых, что 1200 можно представить в виде произведения простых чисел, а во-вторых, что каким бы способом это ни было сделано, всегда будет ровно четыре 2, один 3, два 5 и никаких других простых чисел в этом произведении. Требование, чтобы сомножители были простыми, необходимо: разложения, содержащие составные числа, могут быть не единственными (например, ). Эта теорема является одной из основных причин, по которой 1 не считается простым числом: если бы 1 был простым, то разложение на простые множители не было бы однозначным; например,
(for example, ). This theorem is one of the main reasons why 1 is not considered a prime number: if 1 were prime, then factorization into primes would not be unique; for example,
Теорема обобщается на другие алгебраические структуры, называемые областями однозначной факторизации, и включает в себя области главных идеалов, евклидовы области и кольца многочленов над полем. Однако теорема не выполняется для алгебраических целых чисел. Эта невозможность однозначной факторизации является одной из причин сложности доказательства последней теоремы Ферма. Неявное использование однозначной факторизации в кольцах алгебраических целых чисел лежит в основе ошибок многих ошибочных доказательств, написанных за 358 лет между формулировкой Ферма и доказательством Уайлса.
Арифметические функции
Многие арифметические функции определяются с использованием канонического представления. В частности, значения аддитивных и мультипликативных функций определяются их значениями в степенях простых чисел.
Доказательство
В доказательстве используется лемма Евклида (Elements VII, 30): Если простое число делит произведение двух целых чисел, то оно должно делить хотя бы одно из этих чисел.
Существование
Должно быть показано, что каждое целое число, большее 1, является либо простым, либо произведением простых чисел. Во-первых, 2 является простым числом. Затем, с помощью сильной индукции, предположим, что это верно для всех чисел, больших 1 и меньших n. Если n является простым числом, то доказывать больше нечего. В противном случае, существуют целые числа a и b, такие что n = a * b, и 1 < a ≤ b < n. По гипотезе индукции, a = p1 * p2 *…* pj и b = q1 * q2 *…* qk являются произведениями простых чисел. Следовательно, n = a * b = p1 * p2 *…* pj * q1 * q2 *…* qk является произведением простых чисел.
Уникальность
Предположим, напротив, существует целое число, имеющее два различных простых разложения на множители. Пусть n – наименьшее такое число, и запишем n = p₁p₂…pⱼ = q₁q₂…qₖ, где каждое pᵢ и qᵢ является простым числом. Мы видим, что p₁ делит q₁q₂…qₖ, следовательно, p₁ делит некоторое qᵢ по лемме Евклида. Без ограничения общности, предположим, что p₁ делит q₁. Поскольку p₁ и q₁ – простые числа, следует, что p₁ = q₁. Вернемся к разложениям n на множители и исключим эти два множителя, чтобы получить p₂…pⱼ = q₂…qₖ. Теперь у нас есть два различных простых разложения на множители для некоторого целого числа, строго меньшего n, что противоречит минимальности n.
Обобщения
Первое обобщение теоремы встречается во второй монографии Гаусса (1832) о биквадратической взаимности. В этой работе было введено то, что сейчас называется кольцом гауссовых целых чисел, множество всех комплексных чисел вида a + bi, где a и b – целые числа. Он показал, что это кольцо имеет четыре единицы: ±1 и ±i, что ненулевые и не являющиеся единицами числа делятся на два класса: простые и составные, и что (с точностью до порядка) составные числа имеют единственную факторизацию на простые множители (с точностью до порядка и умножения на единицы). Аналогично, в 1844 году, работая над кубической взаимностью, Эйзенштейн ввёл кольцо , где – кубический корень из единицы. Это кольцо целых чисел Эйзенштейна, и он доказал, что оно имеет шесть единиц и обладает свойством единственной факторизации. Однако было также обнаружено, что единственная факторизация не всегда выполняется. Пример даётся в этом кольце. Примеры подобного рода привели к модификации понятия «простое». В нём можно доказать, что если какой-либо из вышеуказанных множителей может быть представлен в виде произведения, например, 2 = ab, то один из a или b должен быть единицей. Это традиционное определение «простого». Также можно доказать, что ни один из этих множителей не удовлетворяет лемме Евклида; например, 2 не делит ни (1 + ), ни (1 − ), хотя оно делит их произведение 6. В алгебраической теории чисел 2 называется неприводимым в (делится только на себя или на единицу), но не простым в (если оно делит произведение, то оно должно делить один из множителей). Упоминание необходимо, поскольку 2 является простым и неприводимым в . Используя эти определения, можно доказать, что в любой целостностной области простое число должно быть неприводимым. Классическую лемму Евклида можно перефразировать как «в кольце целых чисел каждое неприводимое число является простым». Это также верно в и , но не в .
Examples like this caused the notion of "prime" to be modified. In it can be proven that if any of the factors above can be represented as a product, for example, 2 = ab, then one of a or b must be a unit. This is the traditional definition of "prime". It can also be proven that none of these factors obeys Euclid's lemma; for example, 2 divides neither (1 + ) nor (1 − ) even though it divides their product 6. In algebraic number theory 2 is called irreducible in (only divisible by itself or a unit) but not prime in (if it divides a product it must divide one of the factors). The mention of is required because 2 is prime and irreducible in Using these definitions it can be proven that in any integral domain a prime must be irreducible. Euclid's classical lemma can be rephrased as "in the ring of integers every irreducible is prime". This is also true in and but not in
The rings in which factorization into irreducibles is essentially unique are called unique factorization domains. Important examples are polynomial rings over the integers or over a field, Euclidean domains and principal ideal domains. In 1843 Kummer introduced the concept of ideal number, which was developed further by Dedekind (1876) into the modern theory of ideals, special subsets of rings. Multiplication is defined for ideals, and the rings in which they have unique factorization are called Dedekind domains. There is a version of unique factorization for ordinals, though it requires some additional conditions to ensure uniqueness. Any commutative Möbius monoid satisfies a unique factorization theorem and thus possesses arithmetical properties similar to those of the multiplicative semigroup of positive integers. Fundamental Theorem of Arithmetic is, in fact, a special case of the unique factorization theorem in commutative Möbius monoids.
Кольца, в которых факторизация на неприводимые элементы по существу единственна, называются областями однозначной факторизации. Важными примерами являются кольца многочленов над целыми числами или над полем, евклидовы области и области главных идеалов. В 1843 году Куммер ввёл понятие идеального числа, которое было далее развито Дедекиндом (1876) в современную теорию идеалов – специальные подмножества колец. Для идеалов определено умножение, а кольца, в которых они обладают единственной факторизацией, называются дедекиндовыми областями. Существует версия единственной факторизации для ординалов, хотя для обеспечения единственности требуются некоторые дополнительные условия. Любой коммутативный моноид Мёбиуса удовлетворяет теореме об единственной факторизации и, следовательно, обладает арифметическими свойствами, аналогичными свойствам мультипликативной полугруппы положительных целых чисел. Фундаментальная теорема арифметики, по сути, является частным случаем теоремы об единственной факторизации в коммутативных моноидах Мёбиуса.
Examples like this caused the notion of "prime" to be modified. In it can be proven that if any of the factors above can be represented as a product, for example, 2 = ab, then one of a or b must be a unit. This is the traditional definition of "prime". It can also be proven that none of these factors obeys Euclid's lemma; for example, 2 divides neither (1 + ) nor (1 − ) even though it divides their product 6. In algebraic number theory 2 is called irreducible in (only divisible by itself or a unit) but not prime in (if it divides a product it must divide one of the factors). The mention of is required because 2 is prime and irreducible in Using these definitions it can be proven that in any integral domain a prime must be irreducible. Euclid's classical lemma can be rephrased as "in the ring of integers every irreducible is prime". This is also true in and but not in
The rings in which factorization into irreducibles is essentially unique are called unique factorization domains. Important examples are polynomial rings over the integers or over a field, Euclidean domains and principal ideal domains. In 1843 Kummer introduced the concept of ideal number, which was developed further by Dedekind (1876) into the modern theory of ideals, special subsets of rings. Multiplication is defined for ideals, and the rings in which they have unique factorization are called Dedekind domains. There is a version of unique factorization for ordinals, though it requires some additional conditions to ensure uniqueness. Any commutative Möbius monoid satisfies a unique factorization theorem and thus possesses arithmetical properties similar to those of the multiplicative semigroup of positive integers. Fundamental Theorem of Arithmetic is, in fact, a special case of the unique factorization theorem in commutative Möbius monoids.