Абстракті сандық теория және асимптотикалық таралулар
Abstract analytic number theory
Абстракті сандық теория – сандарды зерттеудің бір саласы. Классикалық жай сан теоремасы, асимптотикалық таралу нәтижелері, Кнопфмахер, Бёрлинг еңбектері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Абстрактілік аналитикалық сандар теориясы – математиканың бір саласы, ол классикалық аналитикалық сандар теориясының идеялары мен әдістерін пайдаланып, оларды түрлі математикалық салаларға қолданады. Классикалық жай сандар теоремасы негізгі мысал ретінде қызмет етеді, ал басты назар абстрактілі асимптотикалық таралу нәтижелеріне беріледі. Бұл теорияны XX ғасырда Джон Кнопфмакер және Арне Берлинг сияқты математиктер жасап, дамытты.
Abstract analytic number theory is a branch of mathematics which takes the ideas and techniques of classical analytic number theory and applies them to a variety of different mathematical fields. The classical prime number theorem serves as a prototypical example, and the emphasis is on abstract asymptotic distribution results. The theory was invented and developed by mathematicians such as John Knopfmacher and Arne Beurling in the twentieth century.
Мысалдар
Арифметикалық жарты топтың прототиптік мысалы – оң бүтін сандардың G = Z+ = {1, 2, 3, …} көбейтуші жарты тобы, рационалды алғашқы сандардың P = {2, 3, 5, …} жиынымен бірге. Мұнда бүтін санның нормасы жай ғана |n|, сондықтан [x] – x-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан. Егер K алгебралық сандар өрісі болса, яғни рационалдық сандар Q өрісінің шекті кеңейтілуі болса, онда K сандарының бүтін сандар сақинасы OK-дегі барлық нөлдік емес идеалдар жиыны G, OK сәйкестік элементімен арифметикалық жарты топты құрайды, ал I идеалдың нормасы OK/I факторсақинасының кардиналдығымен анықталады. Бұл жағдайда, жай сандар теоремасының орынды жалпылауы – Ландаудың жай идеалдар теоремасы, ол OK-дегі идеалдардың асимптотикалық таралуын сипаттайды. Крулл-Шмидт типіндегі теореманы қанағаттандыратын әр түрлі арифметикалық санаттарды қарастыруға болады. Мұндай жағдайлардың барлығында G элементтері тиісті санаттағы изоморфизм кластарын құрайды, ал P – бөлшектенбейтін объектілердің барлық изоморфизм кластарынан тұрады, яғни нөлдік емес объектілердің тікелей көбейтіндісі түрінде жіктеуге болмайтын объектілер. Кейбір мысалдар: Әдеттегі тікелей көбейту операциясы және нормалық бейнелеу бойынша барлық шекті абельдік топтар санаты. Бөлшектенбейтін объектілер – жай санның дәрежесіне ие циклдік топтар. Риман өнімдері және нормалық бейнелеу бойынша барлық компактты, жай ғана байланысқан, жаһандық симметриялық Римандық көптүрліліктер санаты, мұнда c > 1 тұрақты және dim M – M көптүрлілігінің өлшемі. Топологиялық қосынды және нормалық бейнелеу бойынша барлық псевдометризацияланатын шекті топологиялық кеңістіктер санаты. Бөлшектенбейтін объектілер – байланысқан кеңістіктер.
The prototypical example of an arithmetic semigroup is the multiplicative semigroup of positive integers G = Z+ = {1, 2, 3, }, with subset of rational primes P = {2, 3, 5, }. Here, the norm of an integer is simply , so that , the greatest integer not exceeding x. If K is an algebraic number field, i. e. a finite extension of the field of rational numbers Q, then the set G of all nonzero ideals in the ring of integers OK of K forms an arithmetic semigroup with identity element OK and the norm of an ideal I is given by the cardinality of the quotient ring OK/I. In this case, the appropriate generalisation of the prime number theorem is the Landau prime ideal theorem, which describes the asymptotic distribution of the ideals in OK. Various arithmetical categories which satisfy a theorem of Krull Schmidt type can be considered. In all these cases, the elements of G are isomorphism classes in an appropriate category, and P consists of all isomorphism classes of indecomposable objects, i. e. objects which cannot be decomposed as a direct product of nonzero objects. Some typical examples are the following. The category of all finite abelian groups under the usual direct product operation and norm mapping The indecomposable objects are the cyclic groups of prime power order. The category of all compact simply connected globally symmetric Riemannian manifolds under the Riemannian product of manifolds and norm mapping where c > 1 is fixed, and dim M denotes the manifold dimension of M. The indecomposable objects are the compact simply connected irreducible symmetric spaces. The category of all pseudometrisable finite topological spaces under the topological sum and norm mapping The indecomposable objects are the connected spaces.
Арифметикалық құрылым
Арифметикалық формация ұғымы алгебралық сандар теориясындағы идеалдық сынып тобының жалпылануын қамтамасыз етеді және шектеулер бойынша абстрактілік асимптотикалық таралу нәтижелеріне мүмкіндік береді. Мысалы, сандық өрістер жағдайында бұл Чеботарев тығыздық теоремасы болып табылады. Арифметикалық формация – G арифметикалық жартылай тобы, онда ≡ эквиваленттік қатынасы бар, және G/≡ бөлігі шекті Абель тобы A болып табылады. Бұл бөлік – формацияның сынып тобы, ал эквиваленттік сыныптар жалпыланған арифметикалық прогрессиялар немесе жалпыланған идеалдық сыныптар болып табылады. Егер χ тобы A-ның белгісі болса, онда біз арифметикалық жартылай топ үшін дзета-функция ұғымын беретін Дирихле қатарын анықтай аламыз.
The notion of arithmetical formation provides a generalisation of the ideal class group in algebraic number theory and allows for abstract asymptotic distribution results under constraints. In the case of number fields, for example, this is Chebotarev's density theorem. An arithmetical formation is an arithmetic semigroup G with an equivalence relation ≡ such that the quotient G/≡ is a finite abelian group A. This quotient is the class group of the formation and the equivalence classes are generalised arithmetic progressions or generalised ideal classes. If χ is a character of A then we can define a Dirichlet series
which provides a notion of zeta function for arithmetical semigroup.