Введение

Абстрактная аналитическая теория чисел — это раздел математики, который использует идеи и методы классической аналитической теории чисел и применяет их к разнообразным математическим областям. Классическая теорема о простых числах служит типичным примером, а основной упор делается на абстрактные результаты об асимптотическом распределении. Эта теория была изобретена и развита математиками, такими как Джон Кнопфмахер и Арне Берлинг в двадцатом веке.

Примеры

Прототипическим примером арифметической полугруппы является мультипликативная полугруппа положительных целых чисел G = Z+ = {1, 2, 3, …}, с подмножеством рациональных простых чисел P = {2, 3, 5, …}. Здесь норма целого числа просто равна |x|, так что [x] – наибольшее целое число, не превышающее x. Если K – алгебраическое числовое поле, т.е. конечное расширение поля рациональных чисел Q, то множество G всех ненулевых идеалов в кольце целых чисел OK поля K образует арифметическую полугруппу с единичным элементом OK, а норма идеала I задается кардинальностью факторкольца OK/I. В этом случае, подходящим обобщением теоремы о простых числах является теорема Ландау об идеалах-простых числах, которая описывает асимптотическое распределение идеалов в OK. Можно рассмотреть различные арифметические категории, удовлетворяющие теореме типа Крулла — Шмидта. Во всех этих случаях элементы G являются классами изоморфизма в соответствующей категории, а P состоит из всех классов изоморфизма неразложимых объектов, т.е. объектов, которые нельзя представить в виде прямого произведения ненулевых объектов. Вот некоторые типичные примеры. Категория всех конечных абелевых групп относительно обычной операции прямого произведения и отображения норм. Неразложимыми объектами являются циклические группы порядка простой степени. Категория всех компактных простосвязных глобально симметричных римановых многообразий относительно риманова произведения многообразий и отображения норм, где c > 1 фиксировано, а dim M обозначает размерность многообразия M. Неразложимыми объектами являются компактные простосвязные неприводимые симметричные пространства. Категория всех псевдометризуемых конечных топологических пространств относительно топологической суммы и отображения норм. Неразложимыми объектами являются связные пространства.

Арифметическое образование

Понятие арифметического формирования обобщает понятие идеальной группы классов в алгебраической теории чисел и позволяет получать абстрактные результаты об асимптотическом распределении при заданных ограничениях. Например, для числовых полей это теорема о плотности Чеботарёва. Арифметическое формирование — это арифметическая полугруппа G с отношением эквивалентности ≡, таким что факторгруппа G/≡ является конечной абелевой группой A. Эта факторгруппа является группой классов формирования, а классы эквивалентности — обобщёнными арифметическими прогрессиями или обобщёнными классами идеалов. Если χ — характер группы A, то можно определить ряд Дирихле, который даёт понятие дзета-функции для арифметической полугруппы.