Кванттық өрістер теориясы: Теориялық негіздері мен даму тарихы

Кіріспе

Теориялық негіздер

Теориялық физикада кванттық өріс теориясы (ҚӨТ) – классикалық өріс теориясы, арнайы салыстырмалылық теориясы және кванттық механиканы біріктіретін теориялық негіздердің жиынтығы. ҚӨТ бөлшектер физикасында субатомдық бөлшектердің физикалық модельдерін құруға, ал конденсирленген заттар физикасында – квазибөлшектердің модельдерін құруға қолданылады. Қазіргі кездегі бөлшектер физикасының стандартты моделі кванттық өріс теориясына негізделген. ҚӨТ бөлшектерді олардың негізгі кванттық өрістерінің қоздырылған күйлері (сондай-ақ кванттық деңгейлер деп аталады) ретінде қарастырады, бұл өрістер бөлшектерден фундаменталдырақ. Бөлшектің қозғалыс теңдеуі, бөлшекке қатысты өрістердің функциясы болып табылатын Лагранж үшін есептелген әрекеттің минимумдауы арқылы анықталады. Бөлшектердің өзара әрекеттесуі олардың сәйкес кванттық өрістерін қамтитын Лагранждағы өзара әрекеттесу мүшелерімен сипатталады. Кванттық механикадағы perturbation теориясына сәйкес, әрбір өзара әрекеттесуді Фейнман диаграммалары арқылы визуализациялауға болады.

Тарих

Кванттық өріс теориясы 20 ғасырдың көп бөлігіндегі теориялық физиктердің бірнеше буын еңбегінің нәтижесінде пайда болды. Оның дамуы 1920 жылдары жарық пен электрондардың өзара әрекеттесуін сипаттаумен басталды және бірінші кванттық өріс теориясы – кванттық электродинамикамен аяқталды. Бірақ, көп ұзамай, бұрыштамалық есептеулерде әртүрлі шексіздіктердің пайда болуы және олардың жойылмауы секілді маңызды теориялық кедергі пайда болды, бұл мәселе 1950 жылдары қайта нормалау әдісінің ойлап табылуымен шешілді. Екінші маңызды кедергі – QFT-нің әлсіз және күшті өзара әрекеттесулерді сипаттауға келмейтін болды, тіпті кейбір теоретиктер өріс теориялық тәсілден бас тартуға шақырды. Гаудж теориясының дамуы және 1970 жылдары Стандартты модельдің аяқталуы кванттық өріс теориясының қайта жандануына әкелді.

Теориялық негіздер

Кванттық өріс теориясы классикалық өріс теориясы, кванттық механика және арнайы салыстырмалылық теориясының үйлесімінен туындайды. Өрістердің өздігінен болуы 19 ғасырда электромагнетизмнің дамуымен басталды. Майкл Фарадей 1845 жылы "өріс" деген ағылшын терминін енгізді. Ол өрістерді кеңістіктің (материясы болмаған жағдайда да) физикалық әсер ететін қасиеттері ретінде ұсынды. Ол "қашықтықтан әрекет етуге" қарсы шығып, нысандар арасындағы өзара әрекеттесу кеңістікті толтыратын "күш сызықтары" арқылы жүзеге асатынын айтты. Өрістердің осы сипаттамасы бүгінгі күнге дейін сақталған. Классикалық электромагнетизм теориясы 1864 жылы Максвелл теңдеулерімен толықты, ол электр өрісі, магнит өрісі, электр тогы және электр заряды арасындағы қатынасты сипаттайды. Максвелл теңдеулері электромагниттік толқындардың бар екенін көрсетті, яғни электр және магнит өрістері кеңістіктегі бір нүктеден екінші нүктеге шекті жылдамдықпен таралады, ол жарық жылдамдығына тең болып шықты. Осылайша, қашықтықтан әрекет ету идеясы нақты жоққа шығарылды. Макс Планктың қара дене сәулеленуін зерттеуі кванттық механиканың бастауын берді. Ол электромагниттік сәулеленуді сіңіретін және шығаратын атомдарды, энергиясы үздіксіз емес, дискретті мәндер қатарын ғана қабылдай алатын, маңызды қасиеттері бар кішкентай осцилляторлар ретінде қарастырды. Бұлар кванттық гармоникалық осцилляторлар деп аталады. Энергияны дискретті мәндерге шектеу процесі кванттау деп аталады. Осы идеяға сүйене отырып, Альберт Эйнштейн 1905 жылы фотоэлектрлік эффектті түсіндірді, яғни жарық фотондар (жарық кванттары) деп аталатын жеке энергия пакеттерінен тұрады. Бұл электромагниттік сәулелену классикалық электромагниттік өрістегі толқындар бола тұра, бөлшектер түрінде де бар екенін білдірді. Ренормализация процедурасын қолдану арқылы электронның аномальды магниттік моментін (электронның g коэффициентінің 2-ден ауытқуын) және вакуумдық поляризацияны түсіндіруге қабілетті есептеулер жасалды. Бұл нәтижелер эксперименттік өлшемдермен керемет дәл келісті, осылайша "шексіздікке қарсы соғыс" аяқталды. 1951 жылы ол шексіздіктер мәселесін шешудің жаңа әдісін тапты, сыртқы көздерді тоқ ретінде пайдаланып, өрістерге байланысты өлшеулерді енгізді. Бұрынғы зерттеулерге сүйене отырып, Швингер Лагранж көбейтушілері деп аталатын конфигурациялық кеңістік параметрлеріне сыртқы күштерді қосудың классикалық процесін "кванттық" тұрғыдан жалпылау үшін осы тәсілді одан әрі дамытты. Ол өзінің көз теориясын 1966 жылы қорытындылады, содан кейін теорияның кванттық электродинамикаға қолданылуын "Бөлшектер, Көздер және Өрістер" атты үш томдық жинағында кеңейтті. Пион физикасының дамуы, онда жаңа көзқарас ең сәтті қолданылды, оған математикалық қарапайымдылықтың және тұжырымдамалық айқындықтың үлкен артықшылықтарын бергеніне оны көндірді. Көз теориясында ешқандай айырмашылықтар және ренормализация жоқ. Оны өріс теориясының есептеу құралы деп қарастыруға болады, бірақ ол одан да жалпылама. Көз теориясын пайдаланып, Швингер электронның аномальды магниттік моментін есептеді, ол бұрын 1947 жылы жасаған, бірақ бұл жолы шексіз шамалар туралы "асықпай жасалған ескертулер" болмады. Швингер сондай-ақ өзінің QFT гравитация теориясына көз теориясын қолданды және Эйнштейннің төрт классикалық нәтижесін қайта шығарды: гравитациялық қызыл ығысу, гравитацияның әсерінен жарықтың бұрылуы және баяулауы, сондай-ақ Меркурий планетасының перигелий прецессиясы. Физика қауымдастығының көз теориясын елемеуі Швингер үшін үлкен көңіл көшіруіне себеп болды: "Басқалардың осы фактілерді бағаламауы көңілсіз болды, бірақ түсінікті." – деді Дж. Швингер.

Quantum field theory results from the combination of classical field theory, quantum mechanics, and special relativity. Fields began to take on an existence of their own with the development of electromagnetism in the 19th century. Michael Faraday coined the English term "field" in 1845. He introduced fields as properties of space (even when it is devoid of matter) having physical effects. He argued against "action at a distance", and proposed that interactions between objects occur via space filling "lines of force". This description of fields remains to this day. The theory of classical electromagnetism was completed in 1864 with Maxwell's equations, which described the relationship between the electric field, the magnetic field, electric current, and electric charge. Maxwell's equations implied the existence of electromagnetic waves, a phenomenon whereby electric and magnetic fields propagate from one spatial point to another at a finite speed, which turns out to be the speed of light. Action at a distance was thus conclusively refuted. Max Planck's study of blackbody radiation marked the beginning of quantum mechanics. He treated atoms, which absorb and emit electromagnetic radiation, as tiny oscillators with the crucial property that their energies can only take on a series of discrete, rather than continuous, values. These are known as quantum harmonic oscillators. This process of restricting energies to discrete values is called quantization. Building on this idea, Albert Einstein proposed in 1905 an explanation for the photoelectric effect, that light is composed of individual packets of energy called photons (the quanta of light). This implied that the electromagnetic radiation, while being waves in the classical electromagnetic field, also exists in the form of particles.</blockquote>

By applying the renormalization procedure, calculations were finally made to explain the electron's anomalous magnetic moment (the deviation of the electron g factor from 2) and vacuum polarization. These results agreed with experimental measurements to a remarkable degree, thus marking the end of a "war against infinities". but in 1951 he found a way around the problem of the infinities with a new method using external sources as currents coupled to gauge fields. Motivated by the former findings, Schwinger kept pursuing this approach in order to "quantumly" generalize the classical process of coupling external forces to the configuration space parameters known as Lagrange multipliers. He summarized his source theory in 1966 then expanded the theory's applications to quantum electrodynamics in his three volume set titled: Particles, Sources, and Fields. Developments in pion physics, in which the new viewpoint was most successfully applied, convinced him of the great advantages of mathematical simplicity and conceptual clarity that its use bestowed. In source theory there are no divergences, and no renormalization. It may be regarded as the calculational tool of field theory, but it is more general. Using source theory, Schwinger was able to calculate the anomalous magnetic moment of the electron, which he had done in 1947, but this time with no ‘distracting remarks’ about infinite quantities. Schwinger also applied source theory to his QFT theory of gravity, and was able to reproduce all four of Einstein's classic results: gravitational red shift, deflection and slowing of light by gravity, and the perihelion precession of Mercury. The neglect of source theory by the physics community was a major disappointment for Schwinger:<blockquote>The lack of appreciation of these facts by others was depressing, but understandable. J. Schwinger

Стандартты үлгі

1954 жылы Ян Чен Нинг пен Роберт Миллс QED-тің жергілікті симметриясын кеңейтті, нәтижесінде Абельдік емес өлшегіш теориялар (Янг-Миллс теориясы деп те аталады) пайда болды, олар күрделі жергілікті симметрия топтарына негізделген. QED-де (электрлік) зарядталған бөлшектер фотондар алмасу арқылы өзара әрекеттеседі, ал Абельдік емес өлшегіш теорияда жаңа типтегі "зарядты" тасымалдайтын бөлшектер массасыз өлшегіш бозондар алмасу арқылы өзара әрекеттеседі. Фотондардан айырмашылығы, бұл өлшегіш бозондардың өзі зарядты алып жүреді. Шелдон Гласшоу 1960 жылы электромагниттік және әлсіз өзара әрекеттесуді біріктірген Абельдік емес өлшегіш теориясын жасады. 1964 жылы Абдус Салам мен Джон Клайв Уорд басқа жолмен сол теорияға келді. Дегенмен, бұл теория қайта нормаланбайтын еді. Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглерт, Джеральд Гуральник, Карл Хаген және Том Киббл өзінің танымал Physical Review Letters мақалаларында Янг-Миллс теорияларындағы өлшегіш симметрияны спонтандық симметрияны бұзу деп аталатын механизм арқылы бұзуға болатынын ұсынды, осы арқылы бастапқыда массасыз өлшегіш бозондар массаға ие бола алады. Гласшоу, Салам және Уордтың бұрынғы теориясын спонтандық симметрияны бұзу идеясымен біріктіре отырып, Стивен Вайнберг 1967 жылы барлық лептондар мен Хиггс бозонының әсерлері арасындағы электроәлсіз өзара әрекеттесуді сипаттайтын теорияны жазды. Оның теориясы бастапқыда көп назарға ілінбеді. Стандартты модель гравитациядан басқа барлық негізгі өзара әрекеттесулерді сәтті сипаттайды, ал оның көптеген болжамдары кейінгі онжылдықтарда керемет тәжірибелік растау алды. 2012 жылы CERN-де спонтандық симметрияны бұзу механизміне орталық рөл атқаратын Хиггс бозоны табылды, бұл Стандартты модельдің барлық құрамдас бөліктерінің бар екендігін толық растады.

Басқа да өзгерістер

1970 жылдары Абельдік емес калибрлік теорияларда бұзылмалы емес әдістер дамыды. 't Hooft–Polyakov монополі 't Hooft пен Александр Поляков, ағын түтікшелері Хольгер Бех Нильсен мен Пол Олесен, ал инстантондар Поляков және авторлар тобы теориялық тұрғыдан ашты. Бұл объектілер бұзылу теориясы арқылы қолжетімді емес. Сол кезеңде суперсимметрия да пайда болды. Юрий Гольфанд пен Евгений Лихтман 1970 жылы төрт өлшемдегі алғашқы суперсимметриялық КФТ-ны жасады, бірақ нәтижелері темір қоршау салдарынан кеңінен танылмады. Суперсимметрия 1973 жылы Джулиус Весс пен Бруно Зуминоның жұмысынан кейін ғана теориялық қауымдастықта кеңінен таралды. Төрт фундаментальді өзара әрекеттесудің ішінде, гравитация әлі де тұрақты КФТ сипаттамасы жоқ жалғыз күш болып табылады. Кванттық гравитация теориясын құруға жасалған әртүрлі әрекеттер, өзі конформдық симметрияға ие екі өлшемді КФТ түрі болатын, іс тізбесі теориясының дамуына әкелді.

Басқа теориялар

Алдыңғы бөлімдерде сипатталған кванттау және қайта нормалау процедуралары нақты скалярлық өрістің еркін теориясы және φ^(4) теориясы үшін орындалады. Осыған ұқсас процесті басқа да өрістер үшін де жасауға болады, соның ішінде күрделі скалярлық өріс, векторлық өріс және Дирак өрісі, сондай-ақ электромагниттік өзара әрекеттесу және Юкава өзара әрекеттесуі сияқты басқа да өзара әрекеттесу мүшелері үшін. Мысалы, кванттық электродинамикада электрон өрісін бейнелейтін Дирак өрісі ψ және электромагниттік өрісті бейнелейтін A^(μ) векторлық өрісі бар. (Атауына қарамастан, кванттық электромагниттік "өріс" классикалық электр және магнит өрістерінен гөрі классикалық электромагниттік төрт потенциалына сәйкес келеді.) Толық QED Лагранж тығыздығы:

мұнда γ^(μ) – Дирак матрицалары, және – электромагниттік өрістің тензоры. Бұл теориядағы параметрлер – (бастапқы) электрон массасы m және (бастапқы) элементарлық заряд e. Лагранж тығыздығының бірінші және екінші мүшелері сәйкесінше Дирактың еркін өрісі мен еркін векторлық өрістерге сәйкес келеді. Соңғы мүше электрон мен фотон өрістерінің өзара әрекеттесуін сипаттайды, ол еркін теориялардан бұзылыс ретінде қарастырылады. Жоғарыда көрсетілген QED-дегі ағаш деңгейіндегі Фейнман диаграммасының мысалы. Ол электрон мен позитронның жойылғанын, қабықтан шыққан фотонның пайда болуын, содан кейін жаңа электрон және позитрон жұбына ыдырауын сипаттайды. Уақыт солдан оңға қарай өтеді. Уақыт бойынша алға бағытталған жебелер позитрондардың таралуын, ал уақыт бойынша артқа бағытталғандары электрондардың таралуын көрсетеді. Толқын тәрізді сызық фотонның таралуын көрсетеді. QED Фейнман диаграммасындағы әрбір төбеде кіретін және шығатын фермион (позитрон/электрон) аяғы, сондай-ақ фотон аяғы болуы керек.

Суперсимметрия

Табиғаттағы барлық эксперименттік симметриялар бозондарды бозондармен, фермиондарды фермиондармен байланыстырады. Теориялық тұрғыдан алғанда, бозон мен фермионды байланыстыратын суперсимметрия деп аталатын симметрияның бар екендігі туралы болжам жасалды. Стандартты модель Пуанкаре симметриясына бағынады, оның генераторлары кеңістік-уақыт трансляциялары P^(μ) және Лоренц түрлендірулері Jμν болып табылады. Осы генераторлардан басқа, (3+1) өлшемдегі суперсимметрия қосымша Qα генераторларын қамтиды, олар суперзарядтар деп аталады және олардың өзі Вейль фермиондары ретінде түрленеді. Осы генераторлардың барлығымен туындайтын симметрия тобы супер Пуанкаре тобы деп аталады. Жалпы алғанда, суперсимметрия генераторларының бірнеше жиынтығы болуы мүмкін, олар тиісті суперсимметрияны, суперсимметрияны және т.б. тудырады. Суперсимметрия басқа өлшемдерде де құрастырылуы мүмкін, ең әйгілісі – (1+1) өлшемдердегі суперструна теориясында қолдану үшін. Суперсимметриялық теорияның Лагранжианы супер Пуанкаре тобының әрекетіне қатысты инвариантты болуы керек. Мұндай теориялардың мысалдары: Минималды суперсимметриялық стандартты модель (MSSM), суперсимметриялық Янг-Миллс теориясы және суперструна теориясы. Суперсимметриялық теорияда әр фермионның бозондық суперсерігі болады және керісінше. Егер суперсимметрия жергілікті симметрияға көтерілсе, нәтижедегі өріс теориясы супергравитация деп аталатын жалпы салыстырмалылықтың кеңейтілген түрі болады. Суперсимметрия физикадағы қазіргі көптеген мәселелерді шешуге потенциалды шешім ұсынады. Мысалы, Стандартты модельдің иерархиялық мәселесі – Хиггс бозонының массасының радиативті түрде (ренормализация кезінде) өте жоғары масштабқа, мысалы, Ұлы біріктіру масштабына немесе Планк масштабына түзетілмеуінің себебін Хиггс өрісі мен оның суперсерігі Хиггсиноны байланыстыру арқылы шешуге болады. Фейнман диаграммаларындағы Хиггс бозонының циклдарынан туындайтын радиативті түзетулер тиісті Хиггсино циклдарымен өшіріледі. Суперсимметрия сонымен қатар Стандартты модельдегі барлық өріс байланыс константаларының Ұлы бірігуіне, сондай-ақ қара материяның табиғатына жауап береді. Дегенмен, 2018 жылға дейін эксперименттер суперсимметриялық бөлшектердің бар екеніне дәлел келтіре алмады. Егер суперсимметрия табиғаттың нақты симметриясы болса, онда ол бұзылған симметрия болуы керек, ал симметрия бұзылуының энергиясы қазіргі эксперименттермен қол жеткізілетін деңгейден жоғары болуы керек.

All experimentally known symmetries in nature relate bosons to bosons and fermions to fermions. Theorists have hypothesized the existence of a type of symmetry, called supersymmetry, that relates bosons and fermions. The Standard Model obeys Poincaré symmetry, whose generators are the spacetime translations P^(μ) and the Lorentz transformations Jμν. In addition to these generators, supersymmetry in (3+1) dimensions includes additional generators Qα, called supercharges, which themselves transform as Weyl fermions. The symmetry group generated by all these generators is known as the super Poincaré group. In general there can be more than one set of supersymmetry generators, , which generate the corresponding supersymmetry, supersymmetry, and so on. Supersymmetry can also be constructed in other dimensions, most notably in (1+1) dimensions for its application in superstring theory. The Lagrangian of a supersymmetric theory must be invariant under the action of the super Poincaré group. Examples of such theories include: Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM), supersymmetric Yang–Mills theory, and superstring theory. In a supersymmetric theory, every fermion has a bosonic superpartner and vice versa. If supersymmetry is promoted to a local symmetry, then the resultant gauge theory is an extension of general relativity called supergravity. Supersymmetry is a potential solution to many current problems in physics. For example, the hierarchy problem of the Standard Model—why the mass of the Higgs boson is not radiatively corrected (under renormalization) to a very high scale such as the grand unified scale or the Planck scale—can be resolved by relating the Higgs field and its super partner, the Higgsino. Radiative corrections due to Higgs boson loops in Feynman diagrams are cancelled by corresponding Higgsino loops. Supersymmetry also offers answers to the grand unification of all gauge coupling constants in the Standard Model as well as the nature of dark matter. Nevertheless, as of 2018, experiments have yet to provide evidence for the existence of supersymmetric particles. If supersymmetry were a true symmetry of nature, then it must be a broken symmetry, and the energy of symmetry breaking must be higher than those achievable by present day experiments.

Басқа кеңістіктегі уақыт

φ⁴ теориясы, QED, QCD, сондай-ақ бүкіл Стандартты модель кванттық өрістер анықталатын фон ретінде (3+1) өлшемді Минковский кеңістігін (3 кеңістіктік және 1 уақыт өлшемдері) қабылдайды. Дегенмен, Кванттық өрістер теориясы (QFT) бастапқыда өлшемдер санына немесе кеңістік-уақыттың геометриясына ешқандай шектеу қоймайды. Конденсацияланған материя физикасында QFT (2+1) өлшемді электрондық газдарды сипаттау үшін қолданылады. Жоғары энергиялық физикада, ісбаспа теориясы (1+1) өлшемді QFT-ның бір түрі болып табылады. QFT-ның Лагранжианы, демек оның есептеу нәтижелері мен физикалық болжамдары, кеңістік-уақыт фонының геометриясына байланысты.

Топологиялық кванттық өріс теориясы

Қарым-қатынас функциялары мен физикалық болжамдар QFT кеңістік-уақыт метрикасына, gμν-ға тәуелді. Топологиялық кванттық өріс теориялары (ТКӨТ) деп аталатын QFT-лердің ерекше класы үшін барлық корреляциялық функциялар кеңістік-уақыт метрикасының үздіксіз өзгеруіне тәуелсіз болады. Иілген кеңістіктегі QFT-лер әдетте кеңістік-уақыт аясының геометриясына (жергілікті құрылымына) сәйкес өзгереді, ал ТКӨТ-тер кеңістік-уақыт диффеоморфизмдеріне қатысты инвариантты, бірақ кеңістік-уақыт топологиясына (жаһандық құрылымына) сезімтал. Бұл ТКӨТ-тің есептеу нәтижелерінің барлығы негізгі кеңістік-уақыттың топологиялық инварианттары екенін білдіреді. Черн-Симонс теориясы ТКӨТ-тің мысалы болып табылады және кванттық гравитация модельдерін құру үшін қолданылған. ТКӨТ-тің қолданылуларына фракциялық кванттық Холл эффектісі және топологиялық кванттық компьютерлер жатады. Фракцияланған бөлшектердің (аниондар деп аталады) траекториясы кеңістік-уақытта байланыс конфигурациясын құруы мүмкін, бұл физикадағы аниондардың өрілу статистикасын математикадағы байланыс инварианттарымен байланыстырады. Топологиялық кванттық материялардың шекаралық зерттеулеріне қолданылатын топологиялық кванттық өріс теорияларына 2+1 кеңістік-уақыт өлшемдеріндегі Черн-Симонс-Виттен калибрлеу теориясы, 3+1 кеңістік-уақыт өлшемдеріндегі және одан да жоғары жаңа экзотикалық ТКӨТ-лер жатады.

Қиындық тудыратын және тудырмайтын әдістер

Тозығысу теориясын қолданып, кіші өзара әрекеттесу мүшесінің жалпы әсерін, өзара әрекеттесуге қатысатын виртуалды бөлшектер саны бойынша рет-ретімен, сериялық кеңейту арқылы жуықтауға болады. Кеңейтудегі әрбір мүше (физикалық) бөлшектердің виртуалды бөлшектер арқылы бір-бірімен өзара әрекеттесуінің мүмкін жолы ретінде қарастырылуы мүмкін, бұл Фейман диаграммасы арқылы визуализацияланады. КЭД-дегі екі электрон арасындағы электромагниттік күш, виртуалды фотонның таралуымен (тозығысу теориясындағы бірінші ретпен) бейнеленеді. Сол сияқты, W және Z бозондары әлсіз өзара әрекеттесуді, ал глюондар күшті өзара әрекеттесуді қамтамасыз етеді. Өзара әрекеттесуді әртүрлі виртуалды бөлшектердің алмасуын қамтитын аралық күйлердің қосындысы ретінде түсіндіру, тозығысу теориясы шеңберінде ғана мағыналы. Керісінше, КЭТ-дегі бұзғыш емес әдістер, өзара әрекеттесетін Лагранжды толықтай, ешқандай сериялық кеңейтусіз қарастырады. Өзара әрекеттесуді тасымалдайтын бөлшектердің орнына, бұл әдістер 't Hooft–Polyakov монополі, домендік қабырға, флюс түтігі және инстантон сияқты түсініктерді тудырды. Толыққанды бұзғыш емес шешімі бар КЭТ-ке мысалдар, конформдық өріс теориясының минималды модельдері және Тирринг моделі жатады.

Математикалық қатаңдық

Көлшектер физикасы мен конденсирленген заттар физикасындағы үлкен жетістіктеріне қарамастан, КФТ-нің өзі формалды математикалық негізге ие емес. Мысалы, Хаг теоремасы бойынша, КФТ үшін дұрыс анықталған өзара әрекеттесу суреті жоқ, бұл Фейнман диаграммасы әдісінің негізі болып табылатын КФТ-нің бұзылу теориясы негізінен дұрыс емес екенін білдіреді. Дегенмен, тек шамалардың конвергенция талаптарысыз формалды қуат қатары ретінде есептелуін талап ететін, бұзылатын кванттық өріс теориясы қатаң математикалық тұрғыдан қарастырылуы мүмкін. Атап айтқанда, Кевин Костеллоның «Ренормализация және тиімді өріс теориясы» монографиясы Каданов, Уилсон және Полчинскидің тиімді өріс теориясы тәсілдерін, Баталин-Вилковискидің өлшеу теорияларын кванттау тәсілімен біріктіретін, тосқауылдық ренормализацияның қатаң тұжырымын ұсынады. Сонымен қатар, шекті өлшемді интеграция теориясынан туындаған, формалды есептеу әдістері ретінде түсінілетін, бұзылатын жол интегралдық әдістер, олардың шекті өлшемді аналогтарынан дұрыс математикалық интерпретация алуға болады. 1950 жылдардан бері теориялық физиктер мен математиктер барлық КФТ-ні аксиомалар жиынтығына ұйымдастыруға тырысып келеді, релятивистік КФТ-ның нақты модельдерінің математикалық тұрғыдан дұрыс болуын және олардың қасиеттерін зерттеу үшін. Бұл зерттеу бағыты конструктивті кванттық өріс теориясы деп аталады, математикалық физиканың кіші саласы, ол CPT теоремасы, спин-статистика теоремасы және Голдстоун теоремасы, төртіншілік өзара әрекеттесуі бар үш өлшемді скалярлық өріс теориясы және т.б. сияқты нәтижелерге әкелді. Қалыпты КФТ-мен салыстырғанда, топологиялық кванттық өріс теориясы мен конформдық өріс теориясы математикалық жағынан жақсы қолдау табады — екеуі де кобордизмдердің бейнелеулері шеңберінде жіктелуі мүмкін. Алгебралық кванттық өріс теориясы — QFT аксиоматизациясының тағы бір тәсілі, онда негізгі объектілер жергілікті операторлар және олардың арасындағы алгебралық қатынастар болып табылады. Осы тәсілді ұстанатын аксиомалық жүйелерге Уайтман аксиомалары мен Хаг-Кастлер аксиомалары жатады. Уайтман аксиомаларын қанағаттандыратын теорияларды құрудың бір жолы — аналитикалық жалғастыру (Вик айналымы) арқылы жорамал уақыт теориясынан алынатын нақты уақыт теориясының қажетті және жеткілікті шарттарын беретін Остервальдер-Шредер аксиомаларын пайдалану. Янг-Миллс теориясының болуы және массалық алшақтығы, Мыңжылдық сыйлық мәселелерінің бірі, жоғарыда көрсетілген аксиомалар бойынша Янг-Миллс теориясының дұрыс анықталған болуымен байланысты. Мәселенің толық мәлімдемесі келесідей.

In spite of its overwhelming success in particle physics and condensed matter physics, QFT itself lacks a formal mathematical foundation. For example, according to Haag's theorem, there does not exist a well defined interaction picture for QFT, which implies that perturbation theory of QFT, which underlies the entire Feynman diagram method, is fundamentally ill defined. However, perturbative quantum field theory, which only requires that quantities be computable as a formal power series without any convergence requirements, can be given a rigorous mathematical treatment. In particular, Kevin Costello's monograph Renormalization and Effective Field Theory provides a rigorous formulation of perturbative renormalization that combines both the effective field theory approaches of Kadanoff, Wilson, and Polchinski, together with the Batalin Vilkovisky approach to quantizing gauge theories. Furthermore, perturbative path integral methods, typically understood as formal computational methods inspired from finite dimensional integration theory, can be given a sound mathematical interpretation from their finite dimensional analogues. Since the 1950s, theoretical physicists and mathematicians have attempted to organize all QFTs into a set of axioms, in order to establish the existence of concrete models of relativistic QFT in a mathematically rigorous way and to study their properties. This line of study is called constructive quantum field theory, a subfield of mathematical physics, which has led to such results as CPT theorem, spin–statistics theorem, and Goldstone's theorem, the three dimensional scalar field theories with a quartic interaction, etc. Compared to ordinary QFT, topological quantum field theory and conformal field theory are better supported mathematically — both can be classified in the framework of representations of cobordisms. Algebraic quantum field theory is another approach to the axiomatization of QFT, in which the fundamental objects are local operators and the algebraic relations between them. Axiomatic systems following this approach include Wightman axioms and Haag–Kastler axioms. One way to construct theories satisfying Wightman axioms is to use Osterwalder–Schrader axioms, which give the necessary and sufficient conditions for a real time theory to be obtained from an imaginary time theory by analytic continuation (Wick rotation). Yang–Mills existence and mass gap, one of the Millennium Prize Problems, concerns the well defined existence of Yang–Mills theories as set out by the above axioms. The full problem statement is as follows.