Кіріспе
Ішкі өнім кеңістігіндегі норма мен ішкі көбейтіндіге қатысты формулалар, квадраттық формалар. Сызықтық алгебрада, математиканың бір саласында, поляризациялық теңдік – нормаланған векторлық кеңістіктің нормасы арқылы екі вектордың ішкі көбейтіндісін көрсететін формулалардың кез келген жиынтығы. Егер норма ішкі көбейтіндіден туындаса, онда поляризациялық теңдікті осы ішкі көбейтіндіні норма арқылы толыққанды түрде беру үшін қолдануға болады. Поляризациялық теңдік норманың ең көп дегенде бір ішкі көбейтіндіден туындайтынын көрсетеді; алайда, ешқандай ішкі көбейтіндіден туындамайтын нормалар да бар. Кез келген ішкі өнім кеңістігімен байланысты норма параллелограмм заңына қанағаттандырады: шындығында, Джон фон Нейман атап өткендей, параллелограмм заңы ішкі көбейтінділерден туындайтын нормаларды сипаттайды. Берілген нормаланған кеңістікте параллелограмм заңы оның ішкі көбейтіндісі болған жағдайда ғана орындалады, және бұл жағдайда поляризациялық теңдік арқылы нормамен бірегей түрде анықталады.
quadratic forms
In linear algebra, a branch of mathematics, the polarization identity is any one of a family of formulas that express the inner product of two vectors in terms of the norm of a normed vector space. If a norm arises from an inner product then the polarization identity can be used to express this inner product entirely in terms of the norm. The polarization identity shows that a norm can arise from at most one inner product; however, there exist norms that do not arise from any inner product. The norm associated with any inner product space satisfies the parallelogram law:
In fact, as observed by John von Neumann, the parallelogram law characterizes those norms that arise from inner products. Given a normed space , the parallelogram law holds for if and only if there exists an inner product on such that for all in which case this inner product is uniquely determined by the norm via the polarization identity.
Қолданылу және салдары
Егер – кешенді Хилберт кеңістігі болса, онда ол нақты сан болады, егер және тек қана оның жолғары бөлігі 1= 0 = R(x, iy) = \frac{1}{4} \left(\Vert x+iy \Vert^2 \Vert x iy \Vert^2\right) тең болса, бұл 1= \Vert x+iy \Vert = \Vert x iy \Vert болса ғана орын алады. Сол сияқты, (таза) жолғары сан болады, егер және тек қана 1= \Vert x+y \Vert = \Vert x y \Vert болса. Мысалы, одан нақты және таза жолғары сан екеніне қорытынды жасауға болады.
Similarly, is (purely) imaginary if and only if 1= \Vert x+y \Vert = \Vert x y \Vert
For example, from it can be concluded that is real and that is purely imaginary.
Жоғары дәрежелі гомогенді көптіктер
Соңында, осы жағдайлардың кез келгенінде осы теңдіктер кез келген дәрежедегі гомогенді полиномдарға (яғни алгебралық формаларға) қолданылуы мүмкін, бұл жағдайда олар поляризация формуласы деп аталады және алгебралық форманың поляризациясы туралы мақалада одан да толық қарастырылады.