Введение
Формула, связывающая норму и внутреннее произведение в пространстве с внутренним произведением. Квадратичные формы.
quadratic forms
В линейной алгебре, разделе математики, тождество поляризации — это любое из семейства формул, выражающих внутреннее произведение двух векторов через норму нормированного векторного пространства. Если норма вытекает из внутреннего произведения, то тождество поляризации можно использовать для выражения этого внутреннего произведения целиком в терминах нормы. Тождество поляризации показывает, что норма может вытекать максимум из одного внутреннего произведения; однако существуют нормы, которые не вытекают ни из какого внутреннего произведения. Норма, связанная с любым пространством с внутренним произведением, удовлетворяет закону параллелограмма: фактически, как заметил Джон фон Нейман, закон параллелограмма характеризует те нормы, которые вытекают из внутренних произведений. Для заданного нормированного пространства закон параллелограмма выполняется для тогда и только тогда, когда существует внутреннее произведение на такое, что для всех , в этом случае это внутреннее произведение однозначно определяется нормой посредством тождества поляризации.
In fact, as observed by John von Neumann, the parallelogram law characterizes those norms that arise from inner products. Given a normed space , the parallelogram law holds for if and only if there exists an inner product on such that for all in which case this inner product is uniquely determined by the norm via the polarization identity.
Применение и последствия
Если $\mathcal{H}$ – комплексное гильбертово пространство, то $\mathcal{H}$ является вещественным тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна 1 = 0 = R(x, iy) = \frac{1}{4} \left(\Vert x+iy \Vert^2 - \Vert x-iy \Vert^2\right), что происходит тогда и только тогда, когда $\Vert x+iy \Vert = \Vert x-iy \Vert$.
Аналогично, $\mathcal{H}$ является (чисто) мнимым, тогда и только тогда, когда $\Vert x+iy \Vert = \Vert x-iy \Vert$.
Например, из $\mathcal{H}$ можно заключить, что $\mathcal{H}$ является вещественным, а $\mathcal{H}$ является чисто мнимым.
Similarly, is (purely) imaginary if and only if 1= \Vert x+y \Vert = \Vert x y \Vert
For example, from it can be concluded that is real and that is purely imaginary.
Гомогенные полиномы высшей степени
Наконец, в любом из этих контекстов эти тождества могут быть расширены на однородные многочлены (то есть алгебраические формы) любой степени, где это известно как формула поляризации и более подробно рассматривается в статье, посвященной поляризации алгебраической формы.