Кіріспе
Топологиядағы ұғым
Жинақ теориясындағы ұғым
Жинақ теориясында, Бейр кеңістігі – белгілі бір топологиямен жабдықталған, табиғи сандардың барлық шексіз тізбектерінің жиыны. Бұл кеңістік сипаттамалық жиын теориясында кеңінен қолданылады, сондықтан оның элементтері көбінесе "нақты сандар" деп аталады. Ол NN, немесе ωω, немесе символмен, немесе кейде ωω арқылы белгіленеді (ординалдық дәрежелеу арқылы алынған саналатын ординалмен шатастырмау керек). Бейр кеңістігі – табиғи сандар жиынының санаусыз көп көшірмелерінің декарт көбейтіндісі ретінде анықталады және оған көбейтінді топологиясы беріледі (мұнда табиғи сандар жиынының әрбір көшірмесіне дискретті топология беріледі). Бейр кеңістігін көбінесе табиғи сандардың шекті тізбектерінің ағашы арқылы бейнелеуге болады. (Бұл кеңістікті, белгілі бір топологиялық кеңістік түрі болып табылатын Бейр кеңістігі ұғымымен шатастырмау керек.) Бейр кеңістігін Кантор кеңістігімен салыстыруға болады, ол екілік цифрлардың шексіз тізбектерінің жиыны.
Concept in set theory
In set theory, the Baire space is the set of all infinite sequences of natural numbers with a certain topology. This space is commonly used in descriptive set theory, to the extent that its elements are often called "reals". It is denoted by NN, or ωω, or by the symbol or sometimes by ωω (not to be confused with the countable ordinal obtained by ordinal exponentiation). The Baire space is defined to be the Cartesian product of countably infinitely many copies of the set of natural numbers, and is given the product topology (where each copy of the set of natural numbers is given the discrete topology). The Baire space is often represented using the tree of finite sequences of natural numbers. (This space should also not be confused with the concept of a Baire space, which is a certain kind of topological space.) The Baire space can be contrasted with Cantor space, the set of infinite sequences of binary digits.
Топология және ағаштар
Байр кеңістігін анықтау үшін қолданылатын өнім топологиясын екі эквивалентті тәсілдің бірімен сипаттауға болады: цилиндрлер жиындарынан немесе ағаштардан құралған негіздер арқылы.
Ағаш негізі
Өнім топологиясының баламалы негізін ағаштар арқылы беруге болады. Негізгі ашық жиындар мына түрде сипатталады: Егер {wi : i < n} табиғи сандардың шекті тізбегі таңдалса, онда барлық i < n үшін i-інші орында wi мәніне ие болатын табиғи сандардың барлық шексіз тізбектерінің жиыны – негізгі ашық жиын болып табылады. Кез келген ашық жиын – мұндай жиындардың саналатын біріндісі. Осылайша, Байр кеңістігіндегі негізгі ашық жиын – ортақ шекті бастапқы сегмент σ-ны кеңейтетін барлық шексіз табиғи сандар тізбектерінің жиыны. Бұл Байр кеңістігін, кеңейту арқылы реттелген табиғи сандардың шекті тізбектерінің ω<ω толық ағашы арқылы өтетін барлық шексіз жолдар жиыны ретінде бейнелеуге мүмкіндік береді. Кез келген шекті бастапқы сегмент σ – шекті тізбектер ағашының түйіні. Кез келген ашық жиын сол ағаштың S саналатын түйіндерінің біріндісімен анықталады. Байр кеңістігіндегі нүкте ашық жиынға жатады, егер және тек қана оның жолы оны анықтайтын біріндідегі түйіндердің бірінен өтетін болса. Керісінше, кез келген ашық жиын толық ағаштың S кішіағазына сәйкес келеді ω<ω, онда ең көп дегенде саналатын түйіндер болады. Байр кеңістігін ағаш арқылы жүргізілетін жол ретінде бейнелеу, жабық жиындарды ашық жиындарды анықтайтын кішіағаздардың толықтырылымдары ретінде сипаттауға мүмкіндік береді. Байр кеңістігіндегі кез келген нүкте ω<ω түйіндерінің тізбегінен өтеді. Жабық жиындар – ашық жиындардың толықтырылымдары. Бұл толық ω<ω ағашының T кішіағазын анықтайды, онда ашық жиынды анықтайтын S түйіндері жоқ. T кішіағазы S-те жоқ ω<ω-дағы барлық түйіндерден тұрады. Бұл T кішіағазы Байр кеңістігінің жабық C кішіжиынды анықтайды, яғни кез келген x нүктесі C-де болады, егер және тек қана x T арқылы өтетін жол болса. Керісінше, Байр кеңістігінің кез келген жабық C кішіжиыны үшін T кішіағазы бар, ол барлық ω<ω-дан тұрады, онда ең көп дегенде саналатын түйіндер алынып тасталған. Толық ω<ω ағашының өзі саналатын болғандықтан, бұл жабық жиындар толық ағаштың кез келген кішіағазына сәйкес келеді, соның ішінде шекті кішіағаздар да. Осылайша, топология клопен жиындарынан тұрады. Бұл Байр кеңістігінің кішкентай индуктивті өлшемге қатысты нөлдік өлшемге ие екенін білдіреді (оның негізі клопен жиындарынан тұратын барлық кеңістіктер сияқты). Жоғарыда ашық және жабық жиындардың анықтамалары қалың шрифтпен жазылған Борель иерархиясының алғашқы екі жиынын анықтайды.
If a finite sequence of natural numbers {wi : i < n} is selected, then the set of all infinite sequences of natural numbers that have value wi at position i for all i < n is a basic open set. Every open set is a countable union of a collection of these. Thus a basic open set in the Baire space is the set of all infinite sequences of natural numbers extending a common finite initial segment σ. This leads to a representation of the Baire space as the set of all infinite paths passing through the full tree ω<ω of finite sequences of natural numbers ordered by extension. Each finite initial segment σ is a node of the tree of finite sequences. Each open set is determined by a countable union S of nodes of that tree. A point in Baire space is in an open set if and only if its path goes through one of the nodes in its determining union. Conversely, each open set corresponds to a subtree S of the full tree ω<ω, consisting of at most a countable number of nodes. The representation of the Baire space as paths through a tree also gives a characterization of closed sets as complements of subtrees defining the open sets. Every point in Baire space passes through a sequence of nodes of ω<ω. Closed sets are complements of open sets. This defines a subtree T of the full tree ω<ω, in which the nodes of S defining the open set are missing. The subtree T consists of all nodes in ω<ω that are not in S. This subtree T defines a closed subset C of Baire space such that any point x is in C if and only if x is a path through T. Conversely, for any closed subset C of Baire space there is a subtree T which consists of all of ω<ω with at most a countable number of nodes removed. Since the full tree ω<ω is itself countable, this implies the closed sets correspond to any subtree of the full tree, including finite subtrees. Thus, the topology consists of clopen sets. This implies that the Baire space is zero dimensional with respect to the small inductive dimension (as are all spaces whose base consists of clopen sets.) The above definitions of open and closed sets provide the first two sets and of the boldface Borel hierarchy.
Қорап топологиясы
Картезиандық көбейтулерде қораптық топология деп аталатын басқа бір топология да бар. Бұл топология өнім топологиясынан гөрі әлдеқайда жіңішке, себебі ол көрсеткіш жиынтығының санына шектеу қоймайды. Дәстүрлі түрде, Байр кеңістігі осы топологияны емес, тек өнім топологиясын ғана қарастырады.
Салмағы
Жоғарыда келтірілген Бейр кеңістігінің анықтамасы, санаулы шексіз тізбектегі элементтердің өзіндік саны бар жиыннан таңдалған жағдайға дейін жалпыланады. Мұндай кеңістік салмақтың Бейр кеңістігі деп аталады және оны былай белгілеуге болады. Осы анықтама бойынша, шекті салмақты Бейр кеңістіктері Кантор кеңістігіне сәйкес келеді. Ал, шексіз салмақты бірінші Бейр кеңістігі – ол жоғарыда анықталған кеңістікке гомеоморфты.
Метрлік
Екі тізбек және берілген болса, метриканы былай анықтауға болады: мұндағы – шарты орындалатын ең кіші бүтін сан. Осы метрикада ағаш негізінің негізгі ашық жиындары радиусы бар шарлар болып табылады. Метрикалық кеңістік Baire кеңістігіне тек және ғана егер clopen жиындарының негізін құраса, еніп отырады, мұндағы -тың кардиналдығы -қа тең немесе одан кем болады.
A metric space embeds into the Baire space if and only if poses a base of clopen sets, where the cardinality of is less than or equal to .
Нақты сызыққа қатынасы
Байр кеңістігі, егер оларға нақты сызықтан мұра етілген субкеңістік топологиясы берілсе, иррационал сандар жиынына гомеоморфты болады. Байр кеңістігі мен иррационалдар арасындағы гомеоморфизмді тізбекті жалғастыратын бөлшектерді пайдалану арқылы құрастыруға болады. Яғни, берілген натурал сандар тізбесі үшін, 1-ден үлкен сәйкес иррационал санды табуға болады.
Осы арқылы, біз ашық бірлік аралығындағы иррационалдарға тағы бір гомеоморфизм аламыз, және осылайша теріс иррационалдар үшін де жасауға болады. Иррационалдар – Байр кеңістігіне гомеоморфты төрт кеңістіктің топологиялық қосындысы екенін көреміз, демек, олар Байр кеңістігіне де гомеоморфты. Дескриптивтік жиын теориясы тұрғысынан қарағанда, нақты сызықтың байланысты болуы техникалық қиындықтар туғызады. Сондықтан, Байр кеңістігін зерттеу жиірек кездеседі. Барлық поляк кеңістігі Байр кеңістігінің үздіксіз бейнесі болғандықтан, кез келген поляк кеңістігі туралы нәтижелерді Байр кеңістігі үшін осы қасиеттердің орындалуын және үздіксіз функциялар арқылы сақталуын көрсету арқылы дәлелдеуге болады. ωω нақты талдауда да тәуелсіз, бірақ екінші дәрежедегі маңызға ие, онда ол біркелкі кеңістік ретінде қарастырылады. Алайда, ωω және Ir (иррационалдар) кеңістіктерінің біркелкі құрылымдары әртүрлі: ωω өзінің стандартты метрикасында толық, ал Ir толық емес (олар гомеоморфты болса да).
Сменалық оператор
Байр кеңістігіндегі ауысу операторы, нақты сандардың бірлік аралығына бейнеленгенде, Гаусс-Кузмин-Вирсинг операторына айналады. Яғни, берілген тізбек үшін, ауысу операторы T қайтарады. Сол сияқты, үздіксіз бөлшек берілгенде, Гаусс картасы қайтарады. Байр кеңістігінен кешенді жазықтыққа функциялар үшін сәйкес оператор – Гаусс-Кузмин-Вирсинг операторы; ол Гаусс картасының ауысу операторы болып табылады. Яғни, Бейр кеңістігінен кешенді жазықтыққа бейнелеулерді қарастырамыз. Бейнелеулер кеңістігі Бейр кеңістігіндегі көбейту топологиясынан топологияны мұралайды; мысалы, біртекті жуықтасуы бар функцияларды қарастыруға болады. Бұл функциялар кеңістігінде әрекет ететін ауысу бейнелеуі GKW операторы болып табылады. Ауысу операторының Haar өлшемі, яғни ауытқулар кезінде өзгермейтін функция, Минковский өлшемімен беріледі. Яғни, , мұнда T – ауысу және E – ωω-ның кез келген өлшенетін ішкі жиыны.