Введение

понятие в топологии Понятие в теории множеств В теории множеств пространство Бейра — это множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, наделенное определенной топологией. Это пространство широко используется в описательной теории множеств, настолько, что его элементы часто называют «вещественными». Оно обозначается как NN, или ωω, или символом , а иногда и ωω (что не следует путать со счетным ординалом, полученным возведением ординалов в степень). Пространство Бейра определяется как декартово произведение счетно бесконечного числа копий множества натуральных чисел, снабженное топологией произведения (где каждой копии множества натуральных чисел придается дискретная топология). Пространство Бейра часто представляется в виде дерева конечных последовательностей натуральных чисел. (Это пространство также не следует путать с понятием пространства Бейра, которое представляет собой определенный вид топологического пространства.) Пространство Бейра можно противопоставить пространству Кантора — множеству бесконечных последовательностей двоичных цифр.

Топология и деревья

Топология произведения, используемая для определения пространства Байра, может быть описана одним из двух эквивалентных способов: через базис, состоящий из цилиндрических множеств, или через базис, состоящий из деревьев.

Древесная основа

Альтернативное основание для топологии произведения может быть представлено в терминах деревьев. Основные открытые множества можно охарактеризовать следующим образом: если выбрана конечная последовательность натуральных чисел {wi : i < n}, то множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, принимающих значение wi в позиции i для всех i < n, является базовым открытым множеством. Каждое открытое множество является счетным объединением таких множеств. Таким образом, базовым открытым множеством в пространстве Байра является множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, расширяющих общий конечный начальный сегмент σ. Это приводит к представлению пространства Байра как множества всех бесконечных путей, проходящих через полное дерево ω<ω конечных последовательностей натуральных чисел, упорядоченных по расширению. Каждый конечный начальный сегмент σ является узлом дерева конечных последовательностей. Каждое открытое множество определяется счетным объединением S узлов этого дерева. Точка в пространстве Байра принадлежит открытому множеству тогда и только тогда, когда её путь проходит через один из узлов в его определяющем объединении. Обратно, каждому открытому множеству соответствует поддерево S полного дерева ω<ω, состоящее из не более чем счетного числа узлов. Представление пространства Байра как путей через дерево также дает характеристику замкнутых множеств как дополнений к поддеревьям, определяющим открытые множества. Каждая точка в пространстве Байра проходит через последовательность узлов ω<ω. Замкнутые множества являются дополнениями к открытым множествам. Это определяет поддерево T полного дерева ω<ω, в котором отсутствуют узлы S, определяющие открытое множество. Поддерево T состоит из всех узлов в ω<ω, которые не принадлежат S. Это поддерево T определяет замкнутое подмножество C пространства Байра таким образом, что любая точка x принадлежит C тогда и только тогда, когда x является путем через T. Обратно, для любого замкнутого подмножества C пространства Байра существует поддерево T, состоящее из всех ω<ω с удалением не более чем счетного числа узлов. Поскольку полное дерево ω<ω само по себе счетно, это означает, что замкнутые множества соответствуют любому поддереву полного дерева, включая конечные поддеревья. Таким образом, топология состоит из полуоткрытых (clopen) множеств. Это подразумевает, что пространство Байра является нулевой размерности относительно малой индуктивной размерности (как и все пространства, основание которых состоит из полуоткрытых множеств). Вышеуказанные определения открытых и замкнутых множеств дают первые два множества и жирной иерархии Бореля.

Топология ящика

Картезианские произведения также обладают альтернативной топологией, называемой топологией коробок. Эта топология значительно тоньше, чем топология произведения, поскольку не требует, чтобы индикаторный набор был конечным. Обычно под пространством Байра подразумевают топологию произведения, а не топологию коробок.

Вес

Вышеуказанное определение пространства Байра обобщается на случай, когда элементы счетно бесконечной последовательности выбираются из множества мощности ℵ₀. Такое пространство называется пространством Байра веса ℵ₀ и может быть обозначено как ⁰B. При этом определении пространства Байра конечного веса соответствуют пространству Кантора. Первое пространство Байра бесконечного веса тогда ⁰B; оно гомеоморфно пространству ⁰C, определенному выше.

Метрическая

При заданных двух последовательностях α и β, метрика может быть определена как d(α, β) = 2^(-n), где n – наименьшее целое число такое, что α(k) = β(k) для всех k > n. При этой метрике, базовыми открытыми множествами древовидной базы являются шары радиуса 2^(-n). Метрическое пространство X вкладывается в пространство Байра ω^ℕ, если и только если X имеет базу из замкнутых и открытых множеств (clopen sets), где кардинальность этой базы не превосходит ℵ₀.

Отношение к реальной прямой

Пространство Бейра гомеоморфно множеству иррациональных чисел, если ему задать подпространственную топологию, унаследованную от вещественной прямой. Гомеоморфизм между пространством Бейра и иррациональными числами можно построить, используя цепные дроби. То есть, заданной последовательности натуральных чисел можно сопоставить соответствующее иррациональное число, большее 1.

Используя , мы получаем другой гомеоморфизм из в иррациональные числа в открытом единичном интервале, и то же самое можно сделать для отрицательных иррациональных чисел. Мы видим, что иррациональные числа являются топологической суммой четырех пространств, гомеоморфных пространству Бейра и, следовательно, также гомеоморфных пространству Бейра. С точки зрения описательной теории множеств, связность вещественной прямой создает технические трудности. Поэтому чаще изучают пространство Бейра. Поскольку каждое польское пространство является непрерывным образом пространства Бейра, часто можно доказать результаты для произвольных польских пространств, показав, что эти свойства выполняются для пространства Бейра и сохраняются непрерывными отображениями. ωω также представляет собой объект самостоятельного, хотя и второстепенного, интереса в вещественном анализе, где оно рассматривается как равномерное пространство. Однако равномерные структуры ωω и Ir (иррациональных чисел) различны: ωω является полным в своей обычной метрике, а Ir – нет (хотя эти пространства гомеоморфны).

Оператор смены

Оператор смещения на пространстве Байра, при отображении на единичный интервал действительных чисел, становится оператором Гаусса — Кузмина — Вирсинга. То есть, для данной последовательности оператор смещения T возвращает . Аналогично, для данной цепной дроби, карта Гаусса возвращает . Соответствующий оператор для функций из пространства Байра в комплексную плоскость — это оператор Гаусса — Кузмина — Вирсинга; он является оператором переноса карты Гаусса. То есть, рассматриваются отображения из пространства Байра в комплексную плоскость. Это пространство отображений наследует топологию из произведения топологий на пространстве Байра; например, можно рассматривать функции, обладающие равномерной сходимостью. Оператор смещения, действующий на этом пространстве функций, является оператором ГКВ. Мера Хаара оператора смещения, то есть функция, инвариантная относительно сдвигов, задается мерой Минковского. То есть, выполняется , где T — оператор смещения, а E — любое измеримое подмножество ωω.