Кіріспе
Алгебралық топология
Алгебралық топологияда Стинрод алгебрасы mod p кохомологиясы үшін тұрақты кохомология операцияларының алгебрасы ретінде анықталған. Белгілі бір p жай саны үшін, Стинрод алгебрасы – p тәртібіндегі өріс үстінен құрылған, барлық тұрақты кохомология операцияларынан тұратын градуалды Хопф алгебрасы. Ол Стинрод квадраттары арқылы, i үшін, және Стинрод қысқартылған p^k қуаттарымен, сондай-ақ Bockstein гомоморфизмі арқылы анықталады. "Стинрод алгебрасы" термині кейде жалпыланған кохомология теориясының кохомология операцияларының алгебрасын білдіру үшін де қолданылады.
In algebraic topology, a Steenrod algebra was defined by to be the algebra of stable cohomology operations for mod cohomology. For a given prime number , the Steenrod algebra is the graded Hopf algebra over the field of order , consisting of all stable cohomology operations for mod cohomology. It is generated by the Steenrod squares introduced by for , and by the Steenrod reduced th powers introduced in and the Bockstein homomorphism for
The term "Steenrod algebra" is also sometimes used for the algebra of cohomology operations of a generalized cohomology theory.
Кохомология операциялары
Кохомологиялық операция – кохомология функторлары арасындағы табиғи трансформация. Мысалы, егер біз сақинадағы коэффициенттерімен кохомологияны алсақ, тостаған көбейтіндісінің квадраты операциясы кохомологиялық операциялар отбасын тудырады:
Cohomology operations need not be homomorphisms of graded rings; see the Cartan formula below. These operations do not commute with suspension—that is, they are unstable. (This is because if is a suspension of a space , the cup product on the cohomology of is trivial.) Steenrod constructed stable operations
for all greater than zero. The notation and their name, the Steenrod squares, comes from the fact that restricted to classes of degree is the cup square. There are analogous operations for odd primary coefficients, usually denoted and called the reduced th power operations:
The generate a connected graded algebra over , where the multiplication is given by composition of operations. This is the mod 2 Steenrod algebra. In the case , the mod Steenrod algebra is generated by the and the Bockstein operation associated to the short exact sequence
In the case , the Bockstein element is and the reduced th power is .
Кохомологиялық операциялар міндетті түрде градуирленген сақиналардың гомоморфизмдері болуы керек емес; төмендегі Картан формуласын қараңыз. Бұл операциялар аспалымен коммутацияламайды, яғни олар тұрақсыз. (Бұл кеңістіктің аспалы болған жағдайда, оның кохомологиясындағы тостаған көбейтіндісі тривиальды болады.) Стинрод барлық нөлден жоғары үшін тұрақты операцияларды құрастырды. белгілемесі және олардың атауы, Стинрод квадраттары, дәрежесі сыныптарымен шектелген тостаған квадратына сәйкес келуінен туындайды. Жұп емес жай сан коэффициенттері үшін ұқсас операциялар бар, олар әдетте төмендетілген -шы қуат операциялары деп аталады:
Cohomology operations need not be homomorphisms of graded rings; see the Cartan formula below. These operations do not commute with suspension—that is, they are unstable. (This is because if is a suspension of a space , the cup product on the cohomology of is trivial.) Steenrod constructed stable operations
for all greater than zero. The notation and their name, the Steenrod squares, comes from the fact that restricted to classes of degree is the cup square. There are analogous operations for odd primary coefficients, usually denoted and called the reduced th power operations:
The generate a connected graded algebra over , where the multiplication is given by composition of operations. This is the mod 2 Steenrod algebra. In the case , the mod Steenrod algebra is generated by the and the Bockstein operation associated to the short exact sequence
In the case , the Bockstein element is and the reduced th power is .
Олар үстінен байланысқан градуирленген алгебраны тудырады, онда көбейту операциялардың композициясымен беріледі. Бұл 2-модульдік Стинрод алгебрасы. жағдайында, -модульдік Стинрод алгебрасы және қысқа дәл тізбекке байланысты Бокштейн операциясымен туындайды.
Cohomology operations need not be homomorphisms of graded rings; see the Cartan formula below. These operations do not commute with suspension—that is, they are unstable. (This is because if is a suspension of a space , the cup product on the cohomology of is trivial.) Steenrod constructed stable operations
for all greater than zero. The notation and their name, the Steenrod squares, comes from the fact that restricted to classes of degree is the cup square. There are analogous operations for odd primary coefficients, usually denoted and called the reduced th power operations:
The generate a connected graded algebra over , where the multiplication is given by composition of operations. This is the mod 2 Steenrod algebra. In the case , the mod Steenrod algebra is generated by the and the Bockstein operation associated to the short exact sequence
In the case , the Bockstein element is and the reduced th power is .
жағдайында, Бокштейн элементі ал эми төмендетілген -шы қуат болады.
Cohomology operations need not be homomorphisms of graded rings; see the Cartan formula below. These operations do not commute with suspension—that is, they are unstable. (This is because if is a suspension of a space , the cup product on the cohomology of is trivial.) Steenrod constructed stable operations
for all greater than zero. The notation and their name, the Steenrod squares, comes from the fact that restricted to classes of degree is the cup square. There are analogous operations for odd primary coefficients, usually denoted and called the reduced th power operations:
The generate a connected graded algebra over , where the multiplication is given by composition of operations. This is the mod 2 Steenrod algebra. In the case , the mod Steenrod algebra is generated by the and the Bockstein operation associated to the short exact sequence
In the case , the Bockstein element is and the reduced th power is .
Жалпыланған кохомология теорияларына жалпылау туралы ескерту
Егер Эйленберг-Маклейн спектрі кез келген спектрмен ауыстырылса, кохомология сақинасын зерттеуде көптеген қиындықтар туындайды. Мұндай жағдайда, жалпыланған дуалды Стинрод алгебрасын қарастыру қажет, себебі ол жақсы қасиеттерге ие және көптеген жағдайларда (мысалы) зерттеуге ыңғайлы. Шындығында, бұл сақиналық спектрлер коммутативті және бимодульдер тегіс. Бұл жағдайда, кез келген кеңістік үшін -қа қатысты канондық коәрекет бар, бұл коәрекет тұрақты гомотопия категориясына қатысты жақсы қасиеттерге ие, яғни изоморфизм бар. Сондықтан, сақиналық спектрдің бірлігін пайдаланып, -қа қатысты коәрекет алуға болады.
Геометриялық түсіндіру
Стинрод квадраттарын кохомология кластарын көрсететін көпқырлылар арқылы түсіндіруге болатын қарапайым геометриялық интерпретациясы бар. Егер біз тегіс көпқырлының ішкі жиыны ретінде геометриялық түрде көрсетілген кохомология класын қарастырсақ, онда pushforward картасы
-ны береді, бұл -ның бір өкілі болып табылады. Бұған қоса, осы ендірумен байланысты нақты векторлық бундельді нормальді бундель деп атайды. Стинрод квадраттары енді түсінікті – олар нормальді бундельдің Штифель-Уитни класының pushforward-ы болып табылады.
Бұл Стинрод өнімдерінің ақырында жоғалу себебіне геометриялық түсінік береді. Егер Стинрод карталары топтық гомоморфизмдер болса, және егер бізде
түріндегі қосынды ретінде көрсетілген сынып болса, онда сыныптардың квадраттарын олардың негізгі тегіс көпқырлыларының нормальді бундельдерінің pushforward-тарының қосындысы ретінде түсіндіруге болады, яғни,
Сонымен қатар, бұл эквиваленттілік Ву формуласымен тығыз байланысты.
Құрылыс
Егер симметриялық топтың нүктелер жиынындағы кез келген дәрежелі топшасы деп есептесек, онда кохомология класы , -ге әрекет ететін абельдік топ, және кохомология класы болатын жағдайда, төмендетілген қуатты келесідей құрастыруға болады. -тің өзімен сыртқы көбейтіндісін алу, -те коэффициенттері бар эквивариантты коциклді береді. -те еркін әрекет ететін және эквивариантты бейнелеу ретінде қызықты кеңістік таңдаңыз. Осы бейнелеу арқылы кері тарту, -те эквивариантты коциклді, демек, -те коэффициенттері бар коциклді береді. -тегі көлбеу көбейтіндіні пайдалану, -те коэффициенттері бар коциклді береді. Стенрод квадраттары және төмендетілген қуаттар – бұл құрылыстың ерекше жағдайлары, онда топ элементтерінің циклдық ауыстыруы ретінде әрекет ететін жайқы сан реттік циклдық топ, ал топтар жайқы сан реттік циклдық болып табылады, сондықтан да жайқы сан реттік циклдық болады.
The Steenrod squares and reduced powers are special cases of this construction where is a cyclic group of prime order acting as a cyclic permutation of elements, and the groups and are cyclic of order , so that is also cyclic of order .
Стинрод алгебрасының қасиеттері
Аксиомалық құрылымнан өзге, Стинрод алгебрасы бірқатар қосымша пайдалы қасиеттерге ие.
Ресми топтармен байланыс
Дуальді Стинрод алгебралары суперкоммутативті Хопф алгебралары, сондықтан олардың спектрлері алгебралық супертоп схемалары болып табылады. Бұл топтық схемалар 1 өлшемді аддитивті формальды топтардың автоморфизмдерімен тығыз байланысты. Мысалы, егер онда дуальді Стинрод алгебрасы бірінші ретте сәйкестікке тең болатын 1 өлшемді аддитивті формальды топтық схеманың автоморфизмдерінің топтық схемасы болады. Бұл автоморфизмдер мынадай түрде келеді:
Қолданбалар
Стинрод алгебрасының алғашқы қолданбалары Жан-Пьер Серрдің сфералардың кейбір гомотопиялық топтарын есептеуі болды, ол үшін Серр спектралдық тізбегіндегі трансгрессивті дифференциалдардың Стинрод операцияларымен үйлесімділігін пайдаланды, сондай-ақ Рене Томның кобордизмге дейінгі тегіс көптүрліліктерді жіктеуі, Том кешендерінің гомотопиялық топтарымен бордизм сыныптарының санатталған сақинасын анықтау арқылы тұрақты диапазонды қолдану. Соңғысын C. T. C. Wall бағдарланған көптүрліліктерге дейін жетілдірді. Стинрод операцияларының танымал қолданысы, тиісті Адем қатынастарымен байланысты екінші кохомология операциялары арқылы факторлауды қамтиды, бұл Дж. Фрэнк Адамстың Хопф инварианты бір мәселесін шешуіне әкелді. Mod 2 Стинрод алгебрасының салыстырмалы түрде қарапайым қолданысы келесі теорема болып табылады. Теорема. Егер Хопф инварианты 1 болатын бейнелеу болса, онда n – 2-нің дәрежесі. Дәлелдеме әрбір k үшін ыдырайтындығын пайдаланады, егер k 2-нің дәрежесі болмаса; яғни, мұндай элемент кіші дәрежелі квадраттардың көбейтіндісі болып табылады. Майкл А. Манделл Стинрод алгебрасын (алгебралық жабылудағы коэффициенттерімен) зерттеу арқылы келесі теореманы дәлелдеді: Теорема. Алгебралық жабылудағы коэффициенттері бар жеке коцейн функторы, шекті типтегі толық нильпотентті кеңістіктердің гомотопиялық санатын алгебралардың гомотопиялық санатының толық субкатегориясына дейін кері эквиваленттілікке айналдырады.
Theorem. The singular cochain functor with coefficients in the algebraic closure of induces a contravariant equivalence from the homotopy category of connected complete nilpotent spaces of finite type to a full subcategory of the homotopy category of [[ algebras]] with coefficients in the algebraic closure of .
Адамс спектрлік тізбегі мен сфералардың гомотопиялық топтарына байланыс
Стинрод алгебрасының кохомологиясы – (p жергілікті) Адамс спектрлік тізбегінің термині, оның омыртқасы сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарының p компоненті болып табылады. Нақтырақ айтқанда, осы спектрлік тізбектің термині мына ретінде қарастырылуы мүмкін.
Осыдан "Стинрод алгебрасының кохомологиясы сфералардың тұрақты гомотопиялық топтарына жуықтау" деген афоризмнің мәні осы.