Введение

Алгебраическая топология
В алгебраической топологии алгебра Стинрода была определена как алгебра стабильных операций кокогомологии для кокогомологии по модулю *p*. Для данного простого числа *p*, алгебра Стинрода A(*p*) является градуированной алгеброй Хопфа над полем порядка *p*, состоящей из всех стабильных операций кокогомологии для кокогомологии по модулю *p*. Она порождается квадратами Стинрода, введенными Steenrod для *i* ≥ 0, и восстановленными степенями Стинрода, введенными в [ссылка на работу] и гомоморфизмом Бокштейна для *p*. Термин "алгебра Стинрода" также иногда используется для алгебры операций кокогомологии обобщенной теории кокогомологии.

Операции по кохомологии

Кохомологическая операция — это естественное преобразование между кохомологическими функторами. Например, если мы берем кохомологию с коэффициентами в кольце , то операция возведения в квадрат произведения чашек дает семейство кохомологических операций:

Кохомологические операции не обязаны быть гомоморфизмами градуированных колец; см. формулу Картана ниже. Эти операции не коммутируют с подвешиванием, то есть они неустойчивы. (Это происходит потому, что если является подвешиванием пространства , то произведение чашек на кохомологии тривиально.) Стинрод построил устойчивые операции

для всех , больших нуля. Обозначение и их название, квадраты Стинрода, происходит от того факта, что ограничение на классы степени является квадратом произведения чашек. Существуют аналогичные операции для нечетных простых коэффициентов, обычно обозначаемые и называемые редуцированными операциями степени :

Они порождают связную градуированную алгебру над , где умножение задается композицией операций. Это алгебра Стинрода по модулю 2. В случае , алгебра Стинрода по модулю генерируется операциями и операцией Бокштейна , связанной с короткой точной последовательностью.

В случае , элемент Бокштейна равен , а редуцированная операция степени равна .

Замечание о обобщении обобщенных теорий кохомологии

Следует отметить, что если спектр Эйленберга — Маклейна заменить произвольным спектром, то изучение кольца когомологий сталкивается со многими трудностями. В этом случае следует рассмотреть обобщенную двойную алгебру Стинрода, поскольку она обладает гораздо лучшими свойствами и во многих случаях (например, в) может быть эффективно изучена. Фактически, эти кольцевые спектры коммутативны, а соответствующие бимодули плоские. В этом случае существует каноническое кодействие на для любого пространства, такое, что это действие хорошо согласуется со стабильной гомотопической категорией, то есть существует изоморфизм, благодаря чему мы можем использовать единичный кольцевой спектр для получения кодействия на .

Геометрическая интерпретация

Существует наглядная геометрическая интерпретация квадратов Стинрода, использующая многообразия, представляющие классы когомологий. Пусть – гладкое многообразие и рассмотрим класс когомологий , геометрически представленный гладким подмногообразием. Когомологически, если обозначить фундаментальный класс многообразия через , то прямое изображение

дает представление для . Кроме того, с этим погружением связано вещественное векторное расслоение, называемое нормальным расслоением. Квадраты Стинрода класса теперь можно понять следующим образом: они являются прямым изображением класса Стифеля — Уитни нормального расслоения

что дает геометрическое объяснение конечному исчезновению произведений Стинрода. Важно отметить, что поскольку отображения Стинрода являются гомоморфизмами групп, если класс можно представить в виде суммы

где представлены многообразиями, то квадраты этих классов можно интерпретировать как суммы прямых изображений нормальных расслоений соответствующих гладких многообразий, то есть

Эта эквивалентность тесно связана с формулой Ву.

Строительство

Предположим, что – любая подгруппа степени симметричной группы на точках, – кохомологический класс в , – абелева группа, на которую действует , и – кохомологический класс в . Было показано, как построить редуцированную степень в , следующим образом. Взяв внешнее произведение с самим собой раз, получим эквивариантный коцикл на с коэффициентами в . Выберем стягиваемое пространство, на котором действует свободно, и эквивариантное отображение из в . Обратное отображение по этому отображению дает эквивариантный коцикл на и, следовательно, коцикл с коэффициентами в . Взяв косое произведение с в , получим коцикл с коэффициентами в . Квадраты Стинрода и редуцированные степени являются частными случаями этой конструкции, когда является циклической группой простого порядка , действующей как циклическая перестановка элементов, а группы и являются циклическими порядка , так что также является циклической группой порядка .

Свойства алгебры Стинрода

В дополнение к аксиоматической структуре, которой обладает алгебра Стинрода, она имеет ряд других полезных свойств.

Отношения к формальным группам

Двойные алгебры Стинрода являются суперкоммутативными алгебрами Хопфа, поэтому их спектры являются схемами алгебраических супергрупп. Эти групповые схемы тесно связаны с автоморфизмами одномерных аддитивных формальных групп. Например, если , то двойная алгебра Стинрода является групповой схемой автоморфизмов 1-мерной аддитивной формальной групповой схемы, являющихся тождественными преобразованиями первого порядка. Эти автоморфизмы имеют вид

Приложения

Ранними приложениями алгебры Стинрода были вычисления Жана Пьера Серра некоторых гомотопических групп сфер, использующие совместимость трансгрессивных дифференциалов в спектральной последовательности Серра с операциями Стинрода, и классификация Рене Тома гладких многообразий с точностью до кобордизма, посредством отождествления градуированного кольца классов бордизма с гомотопическими группами комплексов Тома в стабильном диапазоне. Последнее было уточнено для ориентированных многообразий К. Т. С. Уоллом. Знаменитым применением операций Стинрода, включающим факторизации через вторичные когомологические операции, связанные с соответствующими соотношениями Адема, стало решение Дж. Фрэнка Адамса проблемы Хопфа об инварианте один. Одним из довольно элементарных применений алгебры Стинрода по модулю 2 является следующая теорема.

Теорема. Если существует отображение с инвариантом Хопфа один, то n является степенью 2. Доказательство использует тот факт, что каждый элемент разложим для k, не являющегося степенью 2; то есть, такой элемент является произведением квадратов элементов строго меньшей степени. Майкл А. Манделл дал доказательство следующей теоремы, изучая алгебру Стинрода (с коэффициентами в алгебраическом замыкании ):

Теорема. Сингулярный функтор коцепей с коэффициентами в алгебраическом замыкании индуцирует контравариантную эквивалентность из гомотопической категории связных полных нилпотентных пространств конечного типа в полную подкатегорию гомотопической категории [[алгебр]] с коэффициентами в алгебраическом замыкании.

Связь со спектральной последовательностью Адамса и гомотопическими группами сфер

Кохомология алгебры Стинрода — это термин, определяющий спектральную последовательность Адамса (p-локальную), чья опора является p-компонентой стабильных гомотопических групп сфер. Более конкретно, член этой спектральной последовательности может быть отождествлен как…

Именно это подразумевается под афоризмом "кохомология алгебры Стинрода — это приближение к стабильным гомотопическим группам сфер".