Введение

Группа n × n обратимых матриц

В математике общая линейная группа степени n — это множество n × n обратимых матриц вместе с операцией обычного матричного умножения. Это образует группу, поскольку произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная к обратимой матрице также обратима, при этом единичная матрица является нейтральным элементом группы. Группа получила такое название, потому что столбцы (и также строки) обратимой матрицы линейно независимы, следовательно, векторы/точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении, а матрицы из общей линейной группы отображают точки в общем линейном положении в точки в общем линейном положении. Для большей точности необходимо указать, какие объекты могут быть элементами матрицы. Например, общая линейная группа над R (множеством вещественных чисел) — это группа n × n обратимых матриц с вещественными элементами, обозначаемая GLn(R) или GL(n, R). В более общем случае общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами) или кольцом R (например, кольцом целых чисел) — это множество n × n обратимых матриц с элементами из F (или R), также с матричным умножением в качестве групповой операции. Типичное обозначение — GLn(F) или GL(n, F), или просто GL(n), если поле понятно из контекста. В еще более общем случае общая линейная группа векторного пространства GL(V) является группой автоморфизмов, не обязательно представленной в виде матриц. Специальная линейная группа, обозначаемая SL(n, F) или SLn(F), — это подгруппа GL(n, F), состоящая из матриц с определителем, равным 1. Группу GL(n, F) и её подгруппы часто называют линейными группами или матричными группами (группа автоморфизмов GL(V) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп, а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств в целом, а также при изучении многочленов. Модулярная группа может быть представлена как фактор-группа специальной линейной группы SL(2, Z). Если n ≥ 2, то группа GL(n, F) не является абелевой.

Общая линейная группа векторного пространства

Если V – векторное пространство над полем F, то общая линейная группа V, обозначаемая GL(V) или Aut(V), является группой всех автоморфизмов V, то есть множеством всех биективных линейных преобразований V → V, с операцией группового умножения – композицией функций. Если V имеет конечную размерность n, то GL(V) и GL(n, F) изоморфны. Изоморфизм не канонический; он зависит от выбора базиса в V. Для заданного базиса (e1, …, en) пространства V и автоморфизма T из GL(V) для каждого базисного вектора ei выполняется равенство:

для некоторых констант aij из F; матрица, соответствующая T, тогда является матрицей, элементы которой задаются числами aji. Аналогично, для коммутативного кольца R группа GL(n, R) может быть интерпретирована как группа автоморфизмов свободного R-модуля M ранга n. Также можно определить GL(M) для любого R-модуля, но в общем случае она не изоморфна GL(n, R) (для любого n).

С точки зрения детерминант

Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL(n, F) – это группа матриц с ненулевым определителем. Над коммутативным кольцом R требуется большая осторожность: матрица над R обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом в R, то есть когда её определитель является единицей в R. Поэтому GL(n, R) можно определить как группу матриц, определители которых являются обратимыми элементами. Над некоммутативным кольцом R определители ведут себя непредсказуемо. В этом случае GL(n, R) можно определить как группу единиц матричного кольца M(n, R).

Реальный случай

Общая линейная группа GL(n, R) над полем действительных чисел является действительной группой Ли размерности n². Чтобы увидеть это, заметим, что множество всех n×n вещественных матриц, Mn(R), образует вещественное векторное пространство размерности n². Подмножество GL(n, R) состоит из тех матриц, детерминант которых отличен от нуля. Детерминант является полиномиальным отображением, и, следовательно, GL(n, R) является открытым аффинным подмногообразием Mn(R) (непустым открытым подмножеством Mn(R) в топологии Зариски), и, таким образом, гладким многообразием той же размерности. Алгебра Ли GL(n, R), обозначаемая, состоит из всех n×n вещественных матриц, где коммутатор служит скобкой Ли. Как многообразие, GL(n, R) не связна, а имеет два связных компонента: матрицы с положительным детерминантом и матрицы с отрицательным детерминантом. Связная компонента единицы, обозначаемая GL+(n, R), состоит из вещественных n×n матриц с положительным детерминантом. Это также группа Ли размерности n²; она имеет ту же алгебру Ли, что и GL(n, R). Полярное разложение, которое является единственным для обратимых матриц, показывает, что существует гомеоморфизм между GL(n, R) и декартовым произведением O(n) и множества положительно определенных симметричных матриц. Аналогично, это показывает, что существует гомеоморфизм между GL+(n, R) и декартовым произведением SO(n) и множества положительно определенных симметричных матриц. Поскольку последнее стягиваемо, фундаментальная группа GL+(n, R) изоморфна фундаментальной группе SO(n). Гомеоморфизм также показывает, что группа GL(n, R) некомпактна. Максимальная компактная подгруппа GL(n, R) — это ортогональная группа O(n), а максимальная компактная подгруппа GL+(n, R) — это специальная ортогональная группа SO(n). Что касается SO(n), то группа GL+(n, R) не просто связна (за исключением случаев, когда n = 1), а имеет фундаментальную группу, изоморфную Z для n = 2 или Z₂ для n > 2.

История

Общая линейная группа над простым полем, GL(ν, p), была построена и её порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (к Шевалье) и втором из трёх приложенных рукописей, которые он использовал при изучении группы Галуа общего уравнения степени pν.

Диагональные подгруппы

Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу GL(n, F), изоморфную (F×)ⁿ. В полях, таких как R и C, они соответствуют изменению масштаба пространства, так называемым расширениям и сжатиям. Скалярная матрица — это диагональная матрица, которая представляет собой константу, умноженную на единичную матрицу. Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу GL(n, F), изоморфную F×. Эта группа является центром GL(n, F). В частности, это нормальная абелева подгруппа. Центр SL(n, F) — это множество всех скалярных матриц с детерминантом, равным единице, и он изоморфен группе n-х корней из единицы в поле F.

Проективная линейная группа

Проективная линейная группа PGL(n, F) и проективная специальная линейная группа PSL(n, F) являются факторгруппами GL(n, F) и SL(n, F) по их центрам (состоящим из матриц, кратных единичной матрице); они представляют собой индуцированное действие на соответствующее проективное пространство.

Полный линейный моноид

Полный линейный моноид, полученный при снятии ограничения на ненулевой детерминант, образует алгебраическую структуру, подобную моноиду, и обычно называется полным линейным моноидом, а иногда – полным линейным полугруппой или общим линейным моноидом. Важно отметить, что он является регулярной полугруппой. Если снять требование ненулевого детерминанта, то результирующая алгебраическая структура будет моноидом, который обычно называют полным линейным моноидом, но иногда также полным линейным полугруппой, общим линейным моноидом и т.п. Фактически, это регулярная полугруппа. Он используется в алгебраической K-теории для определения K1, а над действительными числами обладает хорошо изученной топологией благодаря периодичности Ботта. Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве, которое является большей группой и топологически значительно проще – а именно, стягиваемым, согласно теореме Куйпера.