Сандық денелер және Гильберттің он екінші мәселесі

Кіріспе

Сандық өрістер туралы мәселе

Хилберттің он екінші мәселесі – рационал сандардың Абельдік кеңейтулеріндегі Кронекер-Вебер теоремасын кез келген негізгі сандық өріске кеңейту. Бұл 23 математикалық Хилберт проблемаларының бірі және циклотомдық өрістер мен олардың ішкі өрістеріне ұқсас, сандық өрістердің толық отбасын тудыратын бірліктің түбірлерінің аналогтарын іздейді. Леопольд Кронекер күрделі көбейту мәселесін өзінің liebster Jugendtraum, яғни "жастық шағындағы ең қымбат арманы" деп сипаттағандықтан, бұл мәселе Кронекердің Jugendtraum деп те аталады. Классикалық күрделі көбейту теориясы, қазір көбінесе Кронекердің Югендтраум деп танылады, модульдік және эллиптік функцияларды қолдану арқылы, осы өріске қатысты нақты кезеңдік торларды таңдау арқылы кез келген жорамалсыз квадраттық өріс үшін осы мәселені шешеді. Горо Шимура бұл теорияны CM өрістеріне дейін кеңейтті. Толық нақты өрістердің ерекше жағдайында Самит Дасгупта мен Махеш Какде Брумер-Старк болжамын қолданып, толық нақты өрістердің максималды Абельдік кеңейтуін құрды. 2023 жылға дейін Хилберттің он екінші мәселесінің жалпы жағдайы әлі де шешілмеген күйде.

Проблеманың сипаттамасы

Алгебралық сандар теориясының негізгі мәселесі – алгебралық сандардың өрістерін сипаттау. Галуаның жұмысы далалық кеңейтулерді белгілі бір топтар, Галуа топтары бақылайтынын көрсетті. Жақсы түсінілгеннің шегіндегі ең қарапайым жағдай – сұрақтағы топтың абельдік болуы. Квадраттық көпмүшенің түбірлерін қосу арқылы алынған барлық квадраттық кеңейтулер абельдік, және оларды зерттеуді Гаусс бастаған. Рационалдық сандардың Q өрісінің n-ші бірлік түбірлерін қосу арқылы алынатын абельдік кеңейтудің тағы бір түрі – циклотомдық өрістер. Гаусс, шын мәнінде, әрбір квадраттық өріс үлкен циклотомдық өрісте қамтылғандығын көрсеткен. Кронкер-Вебер теоремасы Q-ның кез келген шекті абельдік кеңейтуі циклотомдық өрісте қамтылғандығын көрсетеді. Кронэкердің (және Гильберттің) сұрағы жалпы алгебралық сандар өрісі K жағдайына қатысты: K-ның барлық абельдік кеңейтулерін құру үшін қандай алгебралық сандар қажет? Бұл сұраққа толық жауап K қиялдық квадраттық өріс немесе оның жалпылауы – CM өрісі болғанда ғана толықтай берілген. Гильберттің 12-ші проблемасының бастапқы тұжырымы қате: ол қиялдық квадраттық өрістердің абельдік кеңейтулері эллиптік модульдік функциялардың ерекше мәндерімен туындайды деп жорамалдайды, бұл дұрыс емес. (Гильберттің не айтқанын дәл анықтау қиын, себебі ол «эллиптік функция» терминін эллиптік функция ℘ және эллиптік модульдік функция j екеуін де білдіру үшін қолданған болуы мүмкін.) Біріншіден, бірліктің түбірлерін пайдалану қажет, дегенмен Гильберт оларды да қосуды көздеген болуы мүмкін. Әсіресе, эллиптік модульдік функциялардың мәндері Гильберт класы өрісін тудыратын болса, жалпы абельдік кеңейтулер үшін эллиптік функциялардың мәндерін де пайдалану қажет. Мысалы, абельдік кеңейту сингулярлық модулдер мен бірліктің түбірлері арқылы туындамайды. Кронкер-Вебер теоремасын айрықша тартымды түрде былай айтуға болады: Q-ның максималды абельдік кеңейтуін экспоненциалдық функцияның ерекше мәндерін exp(2i/n) қосу арқылы алуға болады. Сол сияқты, күрделі көбейту теориясы Q(τ)-ның максималды абельдік кеңейтуін, мұнда τ – қиялдық квадраттық иррационалдық сан, модульдік функциялар j және эллиптік функциялар ℘-ның ерекше мәндерін j(τ) және ℘(τ,z) қосу арқылы, сондай-ақ бірліктің түбірлерін қосу арқылы алуға болады, мұнда τ қиялдық квадраттық өрісте, ал z – сәйкес эллиптік қисықтағы бұрылыс нүктесін білдіреді. Гильберттің он екінші мәселесінің бір түсіндірмесі – экспоненциалдық, эллиптік немесе модульдік функциялардың қолайлы аналогын табу, олардың ерекше мәндері жалпы сандық өрістің K максималды абельдік кеңейтуін Kab тудырады. Бұл түрінде ол әлі шешілмеген. Kab өрісінің сипаттамасы Гильберттің өзі, Эмиль Артин және басқалардың 20 ғасырдың бірінші жартысында дамытқан кластық өріс теориясында алынды. Алайда, кластық өріс теориясындағы Kab құрылысы алдымен Куммер теориясын пайдалана отырып, үлкен абельдік емес кеңейтулерді құрастыруды, содан кейін абельдік кеңейтулерге дейін қысқартуды қамтиды, сондықтан бұл Гильберттің мәселесін толыққанды шешпейді, ол абельдік кеңейтулердің тікелей құрылысын сұрайды.

The fundamental problem of algebraic number theory is to describe the fields of algebraic numbers. The work of Galois made it clear that field extensions are controlled by certain groups, the Galois groups. The simplest situation, which is already at the boundary of what is well understood, is when the group in question is abelian. All quadratic extensions, obtained by adjoining the roots of a quadratic polynomial, are abelian, and their study was commenced by Gauss. Another type of abelian extension of the field Q of rational numbers is given by adjoining the nth roots of unity, resulting in the cyclotomic fields. Already Gauss had shown that, in fact, every quadratic field is contained in a larger cyclotomic field. The Kronecker–Weber theorem shows that any finite abelian extension of Q is contained in a cyclotomic field. Kronecker's (and Hilbert's) question addresses the situation of a more general algebraic number field K: what are the algebraic numbers necessary to construct all abelian extensions of K? The complete answer to this question has been completely worked out only when K is an imaginary quadratic field or its generalization, a CM field. Hilbert's original statement of his 12th problem is rather misleading: he seems to imply that the abelian extensions of imaginary quadratic fields are generated by special values of elliptic modular functions, which is not correct. (It is hard to tell exactly what Hilbert was saying, one problem being that he may have been using the term "elliptic function" to mean both the elliptic function ℘ and the elliptic modular function j.) First it is also necessary to use roots of unity, though Hilbert may have implicitly meant to include these. More seriously, while values of elliptic modular functions generate the Hilbert class field, for more general abelian extensions one also needs to use values of elliptic functions. For example, the abelian extension is not generated by singular moduli and roots of unity. One particularly appealing way to state the Kronecker–Weber theorem is by saying that the maximal abelian extension of Q can be obtained by adjoining the special values exp(2i/n) of the exponential function. Similarly, the theory of complex multiplication shows that the maximal abelian extension of Q(τ), where τ is an imaginary quadratic irrationality, can be obtained by adjoining the special values of ℘(τ,z) and j(τ) of modular functions j and elliptic functions ℘, and roots of unity, where τ is in the imaginary quadratic field and z represents a torsion point on the corresponding elliptic curve. One interpretation of Hilbert's twelfth problem asks to provide a suitable analogue of exponential, elliptic, or modular functions, whose special values would generate the maximal abelian extension Kab of a general number field K. In this form, it remains unsolved. A description of the field Kab was obtained in the class field theory, developed by Hilbert
himself, Emil Artin, and others in the first half of the 20th century. However the construction of Kab in class field theory involves first constructing larger non abelian extensions using Kummer theory, and then cutting down to the abelian extensions, so does not really solve Hilbert's problem which asks for a more direct construction of the abelian extensions.

Қазіргі заманғы даму

1960 жылдан бері болған жаңалықтар, әрине, үлес қосты. Одан бұрын, ол өзінің диссертациясында Хилберт модульдік формаларын нақты квадраттық өрістердің абелдік кеңейтулерін зерттеу үшін қолданды. Абельдік сорттардың күрделі көбейтуі Шимура мен Танияманың жұмысы арқылы ашылған сала болды. Бұл, әдетте, КМ өрістерінің абелдік кеңейтулеріне алып келеді. Қандай кеңейтулер табылуы мүмкін деген сұрақ – бұл сорттардың Тейт модульдері, Галуа бейнелемелері ретінде қарастырылады. Бұл ℓ-адикалық когомологияның ең қарапайым жағдайы болғандықтан, осы бейнелемелер жан-жақты зерттелді. Роберт Лэнглендс 1973 жылы Jugendtraum-ның қазіргі нұсқасы Шимура сорттарының Хассе–Вейль зета-функцияларымен айналысуы керек деді. Ол осы тақырыпты одан әрі дамытатын үлкен бағдарламаны жоспарлағанмен, отыз жылдан астам уақыт өткен соң да Гилберт қойған сұраққа қатысты оның маңыздылығына күмәндер туып тұр. Жеке даму – Старк болжамы (абелдік бірінші дәрежелі жағдайда), ол керісінше, сандық өрістердің абелдік кеңейтулерін жасайтын және Артин L-функцияларының жетекші коэффициенттерін сипаттайтын нақты бірліктерді табу мәселесімен тікелей айналысты. 2021 жылы Дасгупта мен Какде Брумер–Старк бірліктері үшін интегралды Gross–Stark болжамын дәлелдеу арқылы толығымен нақты өрістердің максималды абелдік кеңейтуін табуға қатысты p-адикалық шешім табылды деп хабарлады.