Проблема Гильберта о числовых полях и расширениях Кронекера-Вебера

Введение

Проблема о математических числовых полях

Двенадцатая проблема Гильберта представляет собой расширение теоремы Кронекера — Вебера об абелевых расширениях рациональных чисел на любое базовое числовое поле. Это одна из 23 математических проблем Гильберта, которая требует найти аналоги корней из единицы, генерирующие целое семейство других числовых полей, аналогично циклотомическим полям и их подполям. Леопольд Кронекер описал проблему комплексного умножения как свою *liebster Jugendtraum*, или «самую дорогую мечту юности», поэтому проблема также известна как *Jugendtraum* Кронекера. Классическая теория комплексного умножения, ныне часто называемая *Kronecker Jugendtraum*, решает эту задачу для любого мнимого квадратичного поля, используя модулярные и эллиптические функции, выбранные с определенной периодической решеткой, связанной с рассматриваемым полем. Горо Шимура расширил это на поля CM. В частном случае вполне вещественных полей Самит Дашгупта и Махеш Какде построили максимальное абелево расширение вполне вещественных полей, используя гипотезу Брумера — Старка. Общий случай двенадцатой проблемы Гильберта остается нерешенным по состоянию на 2023 год.

Описание проблемы

Основная проблема алгебраической теории чисел состоит в описании полей алгебраических чисел. Работы Галуа показали, что расширения полей контролируются определенными группами — группами Галуа. Самая простая ситуация, которая уже находится на границе хорошо изученного, — это когда рассматриваемая группа является абелевой. Все квадратные расширения, полученные примыканием корней квадратного многочлена, являются абелевыми, и их изучение было начато Гауссом. Другой тип абелева расширения поля Q рациональных чисел получается при присоединении n-х корней из единицы, в результате чего формируются циклотомические поля. Гаусс уже показал, что каждое квадратное поле на самом деле содержится в большем циклотомическом поле. Теорема Кронекера — Вебера показывает, что любое конечное абелево расширение Q содержится в циклотомическом поле. Вопрос Кронекера (и Гильберта) касается ситуации с более общим алгебраическим числовым полем K: какие алгебраические числа необходимы для построения всех абелевых расширений K? Полный ответ на этот вопрос был полностью разработан только для случая, когда K является мнимым квадратным полем или его обобщением — CM-полем. Оригинальная формулировка 12-й проблемы Гильберта вводит в заблуждение: он, по-видимому, предполагает, что абелевы расширения мнимых квадратных полей порождаются специальными значениями эллиптических модулярных функций, что неверно. (Трудно точно сказать, что имел в виду Гильберт; одна из проблем в том, что он, возможно, использовал термин «эллиптическая функция» для обозначения как эллиптической функции ℘, так и эллиптической модулярной функции j.) Во-первых, необходимо использовать и корни из единицы, хотя Гильберт, возможно, подразумевал их включение. Более серьезно, хотя значения эллиптических модулярных функций порождают поле классов Гильберта, для более общих абелевых расширений также необходимо использовать значения эллиптических функций. Например, абелево расширение не порождается сингулярными модулями и корнями из единицы. Один из наиболее привлекательных способов сформулировать теорему Кронекера — Вебера состоит в том, чтобы сказать, что максимальное абелево расширение Q можно получить, присоединив специальные значения exp(2i/n) экспоненциальной функции. Аналогично, теория комплексного умножения показывает, что максимальное абелево расширение Q(τ), где τ — мнимая квадратная иррациональность, можно получить, присоединив специальные значения ℘(τ, z) и j(τ) модулярных функций j и эллиптических функций ℘, а также корни из единицы, где τ принадлежит мнимому квадратному полю, а z представляет собой точку кручения на соответствующей эллиптической кривой. Одна из интерпретаций 12-й проблемы Гильберта заключается в том, чтобы найти подходящий аналог экспоненциальных, эллиптических или модулярных функций, чьи специальные значения порождали бы максимальное абелево расширение Kab общего числового поля K. В такой формулировке она остается нерешенной. Описание поля Kab было получено в теории полей классов, разработанной самим Гильбертом, Эмилем Артином и другими в первой половине XX века. Однако построение Kab в теории полей классов включает в себя сначала построение больших неабелевых расширений с использованием теории Куммера, а затем сужение до абелевых расширений, поэтому оно не решает проблему Гильберта, которая требует более прямого построения абелевых расширений.

The fundamental problem of algebraic number theory is to describe the fields of algebraic numbers. The work of Galois made it clear that field extensions are controlled by certain groups, the Galois groups. The simplest situation, which is already at the boundary of what is well understood, is when the group in question is abelian. All quadratic extensions, obtained by adjoining the roots of a quadratic polynomial, are abelian, and their study was commenced by Gauss. Another type of abelian extension of the field Q of rational numbers is given by adjoining the nth roots of unity, resulting in the cyclotomic fields. Already Gauss had shown that, in fact, every quadratic field is contained in a larger cyclotomic field. The Kronecker–Weber theorem shows that any finite abelian extension of Q is contained in a cyclotomic field. Kronecker's (and Hilbert's) question addresses the situation of a more general algebraic number field K: what are the algebraic numbers necessary to construct all abelian extensions of K? The complete answer to this question has been completely worked out only when K is an imaginary quadratic field or its generalization, a CM field. Hilbert's original statement of his 12th problem is rather misleading: he seems to imply that the abelian extensions of imaginary quadratic fields are generated by special values of elliptic modular functions, which is not correct. (It is hard to tell exactly what Hilbert was saying, one problem being that he may have been using the term "elliptic function" to mean both the elliptic function ℘ and the elliptic modular function j.) First it is also necessary to use roots of unity, though Hilbert may have implicitly meant to include these. More seriously, while values of elliptic modular functions generate the Hilbert class field, for more general abelian extensions one also needs to use values of elliptic functions. For example, the abelian extension is not generated by singular moduli and roots of unity. One particularly appealing way to state the Kronecker–Weber theorem is by saying that the maximal abelian extension of Q can be obtained by adjoining the special values exp(2i/n) of the exponential function. Similarly, the theory of complex multiplication shows that the maximal abelian extension of Q(τ), where τ is an imaginary quadratic irrationality, can be obtained by adjoining the special values of ℘(τ,z) and j(τ) of modular functions j and elliptic functions ℘, and roots of unity, where τ is in the imaginary quadratic field and z represents a torsion point on the corresponding elliptic curve. One interpretation of Hilbert's twelfth problem asks to provide a suitable analogue of exponential, elliptic, or modular functions, whose special values would generate the maximal abelian extension Kab of a general number field K. In this form, it remains unsolved. A description of the field Kab was obtained in the class field theory, developed by Hilbert
himself, Emil Artin, and others in the first half of the 20th century. However the construction of Kab in class field theory involves first constructing larger non abelian extensions using Kummer theory, and then cutting down to the abelian extensions, so does not really solve Hilbert's problem which asks for a more direct construction of the abelian extensions.

Современные разработки

Развитие событий, начиная с 1960 года, безусловно, внесло свой вклад. До этого, в своей диссертации, он использовал модульные формы Гильберта для изучения абелевых расширений вещественных квадратичных полей. Комплексное умножение абелевых многообразий стало областью, открытой работами Шимуры и Таниямы. Это порождает абелевы расширения полей CM в общем случае. Вопрос о том, какие расширения можно найти, сводится к изучению модулей Тата этих многообразий как представлений Галуа. Поскольку это наиболее доступный случай ℓ-адической когомологии, эти представления были изучены очень подробно. Роберт Лэнгландс в 1973 году предположил, что современная версия Jugendtraum должна быть связана с дзета-функциями Хассе — Вейля многообразий Шимуры. Хотя он представлял себе грандиозную программу, которая значительно продвинула бы эту область, более чем через тридцать лет сохраняются серьезные сомнения относительно ее значимости для вопроса, поставленного Гильбертом. Отдельным направлением развития стала гипотеза Старка (в случае абелева ранга один), которая, в отличие от предыдущей, непосредственно касалась вопроса нахождения конкретных единиц, порождающих абелевы расширения числовых полей, и описания старших коэффициентов L-функций Артина. В 2021 году Дашгупта и Какде объявили о p-адическом решении задачи нахождения максимального абелева расширения вполне вещественных полей, доказав интегральную гипотезу Гросса — Старка для единиц Брумера — Старка.