Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Топологиялық көпқабат, оның үстінде бөлшектік сызықтық құрылым салынған. Математикада, бөлшектік сызықтық көптік (PL көптік) – бұл топологиялық көптік пен оның үстіндегі бөлшектік сызықтық құрылымның жиынтығы. Мұндай құрылымды атлас арқылы анықтауға болады, яғни атлас карталарының арасында бөлшектік сызықтық функциялар арқылы өтуге болады. Бұл топологиялық үшбұрыштау ұғымынан сәл күштірек. PL көптіктердің изоморфизмі PL гомеоморфизмі деп аталады.
Topological manifold with a piecewise linear structure on it. In mathematics, a piecewise linear manifold (PL manifold) is a topological manifold together with a piecewise linear structure on it. Such a structure can be defined by means of an atlas, such that one can pass from chart to chart in it by piecewise linear functions. This is slightly stronger than the topological notion of a triangulation. An isomorphism of PL manifolds is called a PL homeomorphism.
Басқа коллекторлар санаттарымен байланыс
PL, немесе дәлірек айтқанда PDIFF, DIFF (тегіс көптүрліліктер санаты) және TOP (топологиялық көптүрліліктер санаты) арасында орналасқан: ол DIFF-ке қарағанда категориялық тұрғыдан "жақсырақ" мінез-құлық көрсетеді — мысалы, Жалпыланған Пуанкаре болжамы PL-де дұрыс (4 өлшемді, DIFF-ке тең болатын жағдайды қоспағанда), бірақ DIFF-де жалпы алғанда бұрыс, ал хирургия теориясында көрсетілгендей, TOP-қа қарағанда "нашаррақ" мінез-құлық көрсетеді.
PL, or more precisely PDIFF, sits between DIFF (the category of smooth manifolds) and TOP (the category of topological manifolds): it is categorically "better behaved" than DIFF — for example, the Generalized Poincaré conjecture is true in PL (with the possible exception of dimension 4, where it is equivalent to DIFF), but is false generally in DIFF — but is "worse behaved" than TOP, as elaborated in surgery theory.
Тізгіш коллекторлар
Жақсы көптемелердің каноникалық PL құрылымдары бар – олар Уайтхедтің үшбұрыштау теоремасы бойынша бірегей түрде үшбұрышталады. Бірақ PL көптемелерінің әрқашан да жақсы құрылымдары бола бермейді – оларды әрқашан да тегістеуге болмайды. Бұл қатынасты PDIFF санатын енгізу арқылы кеңейтуге болады, ол DIFF және PL-ді қамтиды және PL санатына эквивалентті. PL санатының DIFF санатынан жақсырақ болатын бір тұсы – PL-де конустарды алуға болады, бірақ DIFF-де жоқ – конус нүктесі PL-де қабылданады. Соның салдарынан, жалпыланған Пуанкаре болжамы төрттен жоғары өлшемдерде PL үшін дұрыс. Дәлелдемесі: гомотопиялық сфераны алып, екі шарды жою, h-кобордизм теоремасын қолданып, бұл цилиндр екенін анықтау, содан кейін сфераны қалпына келтіру үшін конустарды қосу. Бұл соңғы қадам PL-де жұмыс істейді, бірақ DIFF-де емес, экзотикалық сфераларға әкеледі.
Smooth manifolds have canonical PL structures — they are uniquely triangulizable, by Whitehead's theorem on triangulation — but PL manifolds do not always have smooth structures — they are not always smoothable. This relation can be elaborated by introducing the category PDIFF, which contains both DIFF and PL, and is equivalent to PL. One way in which PL is better behaved than DIFF is that one can take cones in PL, but not in DIFF — the cone point is acceptable in PL. A consequence is that the Generalized Poincaré conjecture is true in PL for dimensions greater than four — the proof is to take a homotopy sphere, remove two balls, apply the h cobordism theorem to conclude that this is a cylinder, and then attach cones to recover a sphere. This last step works in PL but not in DIFF, giving rise to exotic spheres.
Топологиялық коллекторлар
Әрбір топологиялық көптік PL құрылымын қабылдамайды, ал қабылдағандардың арасында да PL құрылымы бірегей болуы міндетті емес – олар шексіз көп болуы мүмкін. Бұл мәселе Hauptvermutung еңбегінде кеңінен жазылған. Топологиялық көптікке PL құрылымын қоюға кедергі келтіретін нәрсе – Кирби-Сибенман класы. Дәлірек айтқанда, Кирби-Сибенман класы M x R-ге PL құрылымын қоюға кедергі жасайды, ал n > 4 өлшемдерінде KS класы жоғалады, егер және тек қана M кем дегенде бір PL құрылымына ие болса.
Not every topological manifold admits a PL structure, and of those that do, the PL structure need not be unique—it can have infinitely many. This is elaborated at Hauptvermutung. The obstruction to placing a PL structure on a topological manifold is the Kirby–Siebenmann class. To be precise, the Kirby Siebenmann class is the obstruction to placing a PL structure on M x R and in dimensions n > 4, the KS class vanishes if and only if M has at least one PL structure.
Нақты алгебралық жиындар
PL көптігіндегі A құрылымы – PL көптігін тегіс көптікке индуктивті түрде ажыратуға мүмкіндік беретін құрылым. Компактты PL көптіктері A құрылымдарын қабылдайды. Компактты PL көптіктері нақты алгебралық жиындықтарға гомеоморфты. Басқаша айтқанда, A категориясы PL категориясынан жоғары, кедергісіз көтерілуге мүмкіндік беретін бай категория болып табылады, яғни BA → BPL – BA = BPL × PL/A өнімдік фибрация, ал PL көптіктері нақты алгебралық жиындықтар болып табылады, себебі A көптіктері – нақты алгебралық жиындықтар.
An A structure on a PL manifold is a structure which gives an inductive way of resolving the PL manifold to a smooth manifold. Compact PL manifolds admit A structures. Compact PL manifolds are homeomorphic to real algebraic sets. Put another way, A category sits over the PL category as a richer category with no obstruction to lifting, that is BA → BPL is a product fibration with BA = BPL × PL/A, and PL manifolds are real algebraic sets because A manifolds are real algebraic sets.
Комбинаторлық коллекторлар және цифрлық коллекторлар
Комбинаторлық көпқырлы - көпқырлының дискреттелуінің бір түрі. Әдетте, бұл симплициалдық кешендер арқылы құрастырылған бөліктік-сызықтық көпқырлыны білдіреді. Цифрлық көпқырлы - цифрлық кеңістікте анықталатын комбинаторлық көпқырлының ерекше түрі. Цифрлық топологияға қараңыз.
A combinatorial manifold is a kind of manifold which is discretization of a manifold. It usually means a piecewise linear manifold made by simplicial complexes. A digital manifold is a special kind of combinatorial manifold which is defined in digital space. See digital topology.