Введение
Топологический многообразие с кусочно-линейной структурой на нем. В математике, кусочно-линейное многообразие (PL-многообразие) — это топологическое многообразие вместе с кусочно-линейной структурой на нем. Такая структура может быть определена с помощью атласа, позволяющего переходить от одной карты к другой посредством кусочно-линейных функций. Это несколько сильнее, чем топологическое понятие триангуляции. Изоморфизм PL-многообразий называется PL-гомеоморфизмом.
Отношение к другим категориям коллекторов
PL, или, точнее, PDIFF, находится между DIFF (категорией гладких многообразий) и TOP (категорией топологических многообразий): он категорически "лучше себя проявляет", чем DIFF — например, обобщённая гипотеза Пуанкаре верна в PL (с возможным исключением размерности 4, где она эквивалентна DIFF), но в общем случае неверна в DIFF — но "хуже себя проявляет", чем TOP, как это подробно рассматривается в теории хирургий.
Гладкие коллекторы
Гладкие многообразия обладают каноническими PL-структурами — они единственным образом треугольниковы, согласно теореме Уайтхеда о треуголизации, — но PL-многообразия не всегда допускают гладкую структуру — они не всегда могут быть сглажены. Это соотношение можно уточнить, введя категорию PDIFF, которая содержит как DIFF, так и PL, и эквивалентна PL. Одним из преимуществ PL перед DIFF является возможность построения конусов в PL, что невозможно в DIFF — вершина конуса допустима в PL. Следствием этого является то, что обобщённая гипотеза Пуанкаре верна для PL в размерностях больше четырёх — доказательство состоит в том, чтобы взять гомотопическую сферу, удалить два шара, применить теорему об h-кобордизме, чтобы заключить, что это цилиндр, а затем присоединить конусы для восстановления сферы. Этот последний шаг работает в PL, но не в DIFF, что приводит к возникновению экзотических сфер.
Топологические коллекторы
Не каждое топологическое многообразие допускает PL-структуру, и среди тех, которые допускают, PL-структура не обязана быть единственной — она может быть бесконечно многих. Это подробно рассматривается в статье «Hauptvermutung». Препятствием к наделению топологического многообразия PL-структурой является класс Кирби — Зибенманна. Точнее, класс Кирби — Зибенманна является препятствием к наделению PL-структурой произведения M x R, и в размерностях n > 4 класс KS обращается в ноль тогда и только тогда, когда M имеет хотя бы одну PL-структуру.
Реальные алгебраические множества
Структура А на PL-многообразии — это структура, которая предоставляет индуктивный способ сведения PL-многообразия к гладкому многообразию. Компактные PL-многообразия допускают структуры А. Компактные PL-многообразия гомеоморфны вещественным алгебраическим множествам. Иными словами, категория А лежит над категорией PL как более богатая категория, не имеющая препятствий для прообразов, то есть BA → BPL является расслоением произведений, где BA = BPL × PL/A, а PL-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами, поскольку А-многообразия являются вещественными алгебраическими множествами.
Комбинаторные коллекторы и цифровые коллекторы
Комбинаторное многообразие — это тип многообразия, являющийся дискретизацией многообразия. Обычно под этим подразумевают кусочно-линейное многообразие, построенное с помощью симплициальных комплексов. Цифровое многообразие — это особый вид комбинаторного многообразия, определённый в цифровом пространстве. См. цифровую топологию.