Кіріспе
Сандық есептеулердің қателіктерін шектеу әдісі
Интервалдық арифметика (интервалдық математика; интервалдық талдау немесе интервалдық есептеу деп те аталады) – математикалық есептеулерде функциялар шектерін есептеу арқылы дөңгелектеу және өлшеу қателіктерін азайтуға қолданылатын математикалық техника. Интервалдық арифметиканы қолданатын сандық әдістер салыстырмалы түрде сенімді және математикалық тұрғыдан дұрыс нәтижелерге кепілдік бере алады. Мәнды бір сан ретінде көрсетудің орнына, интервалдық арифметика немесе интервалдық математика әр мәнді мүмкін болатын мәндер диапазоны ретінде көрсетеді. Математикалық тұрғыдан алғанда, белгісіз нақты мәнді айнымалымен жұмыс істеудің орнына, интервалдық арифметика айнымалының болуы мүмкін мәндер диапазонын анықтайтын интервалмен жұмыс істейді. Басқаша айтқанда, айнымалының кез келген мәні және аралығындағы жабық аралықта орналасады. Функциясы , егер қолданғанда, барлық мүмкін мәндерді қамтитын аралықты береді. Интервалдық арифметика әртүрлі мақсаттарға қолданылады; ең көп тараған қолданысы ғылыми еңбектерде, әсіресе есептеулер бағдарламалық құралдар арқылы орындалғанда, есептеулердегі дөңгелектеу қателіктерін және физикалық және техникалық параметрлердің нақты мәндерін білудегі белгісіздіктерді қадағалау үшін қолданылады. Соңғылары көбінесе өлшеу қателіктерінен, компоненттерге қатысты толеранттылықтан немесе есептеулердің дәлдігінің шектелуінен туындайды. Интервалдық арифметика теңдеулерге (мысалы, дифференциалдық теңдеулерге) және оптимизациялау мәселелеріне кепілдік берілген шешімдерді табуға көмектеседі.
Interval arithmetic is suitable for a variety of purposes; the most common use is in scientific works, particularly when the calculations are handled by software, where it is used to keep track of rounding errors in calculations and of uncertainties in the knowledge of the exact values of physical and technical parameters. The latter often arise from measurement errors and tolerances for components or due to limits on computational accuracy. Interval arithmetic also helps find guaranteed solutions to equations (such as differential equations) and optimization problems.
Кіріспе
Интервалдық арифметиканың басты мақсаты – функцияның бір немесе бірнеше айнымалыдағы мәндер жиынының жоғарғы және төменгі шектерін есептеудің оңай жолын ұсыну. Бұл шек нүктелері мәндер жиынының нақты жоғарғы немесе төменгі шектері болуы міндетті емес, себебі осы мәндерді дәл есептеу қиын немесе мүмкін болмайды; шектер тек функцияның мәндер жиынын кіші жиын ретінде қамтуы керек. Мұндай өңдеу көбінесе нақты интервалдармен шектеледі, сондықтан мынадай түріндегі шамаларға рұқсат етіледі:
мұнда және – нақты сандар. Бір саны шексіз болса, интервал шексіз интервал болады; егер екі саны да шексіз болса, интервал кеңейтілген нақты сандар осын құрайды. Нақты санды интервал ретінде қарастыруға болады, сондықтан интервалдар мен нақты сандарды еркін үйлестіруге болады.
Мысал
Адамның дене массасы индексін (ДМИ) есептеуді қарастырайық. ДМИ адамның дене салмағының килограммға бөлінген, биіктігінің метрмен алынған квадратына тең болады. Бір килограммдық қателікпен өлшейтін таразыны пайдаланатын адамды қарастырайық, онда аралық мәндерді ажырату мүмкін емес, ал нақты салмақ ең жақын толық санға дейін дөңгеленеді. Мысалы, 79,6 кг және 80,3 кг арасындағы айырмашылықты таразы ажырата алмайды, себебі ол мәндерді тек ең жақын килограммға дейін көрсете алады. Сондықтан, таразы 80 кг көрсеткенде, адамның салмағы дәл 80,0 кг болуы екіталай. Осылайша, таразыда 80 кг көрсетілуі 79,5 кг мен 80,5 кг аралығындағы салмақты, яғни берілген интервалды білдіреді. 80 кг салмағы және 1,80 м биіктігі бар ер адамның ДМИ шамамен 24,7-ге тең. 79,5 кг салмақ және сол биіктікте ДМИ 24,537-ні құрайды, ал 80,5 кг салмақ үшін 24,846-ны құрайды. Дене массасы үздіксіз және белгіленген салмақ аралығындағы барлық мәндер үшін үнемі артып отыратындықтан, нақты ДМИ берілген интервалдың ішінде болуы керек. Интервалдың толығымен 25-тен кіші болуына байланысты, бұл қалыпты және артық салмақ арасындағы шекті мән, сондықтан адамның қалыпты салмақта екендігіне сенімділікпен қорытынды жасауға болады. Бұл мысалдағы қателік қорытындыға (қалыпты салмаққа) әсер етпейді, бірақ бұл әрқашан дұрыс емес. Егер адам сәл ауыр болса, ДМИ диапазоны 25 шекті мәнін қамтуы мүмкін. Мұндай жағдайда таразының дәлдігі нақты қорытынды жасау үшін жеткіліксіз болады. ДМИ мысалдарының диапазоны есептелген интервалдың жоғары жағын қамтитын интервал ретінде көрсетілуі мүмкін. Дегенмен, интервалда ДМИ-ның мүмкін мәндері болмағандықтан, диапазонды көрсетуге болмайды.
The BMI of a man who weighs 80 kg and is 1.80m tall is approximately 24.7. A weight of 79.5 kg and the same height yields a BMI of 24.537, while a weight of 80.5 kg yields 24.846. Since the body mass is continuous and always increasing for all values within the specified weight interval, the true BMI must lie within the interval Since the entire interval is less than 25, which is the cutoff between normal and excessive weight, it can be concluded with certainty that the man is of normal weight. The error in this example does not affect the conclusion (normal weight), but this is not generally true. If the man were slightly heavier, the BMI's range may include the cutoff value of 25. In such a case, the scale's precision would be insufficient to make a definitive conclusion. The range of BMI examples could be reported as since this interval is a superset of the calculated interval. The range could not, however, be reported as , as the interval does not contain possible BMI values.
Бірнеше аралық
Биіктік пен дене салмағы екеуі де ИМТ мәніне әсер етеді. Жоғарыдағы мысал тек салмақтағы өзгерістерді қарастырса да, биіктік те белгісіздікке ұшырайды. Биіктік өлшемдері метрмен әдетте ең жақын сантиметрге дейін дөңгелектенеді: 1.79 метрлік өлшеу көрсетілген аралықтағы биіктікті білдіреді. ИМТ салмаққа пропорционалды өсіп, биіктікке пропорционалды төмендегендіктен, қателік аралығын әр аралықтың ең төменгі және ең жоғарғы мәндерін қойып, содан кейін ең төменгі және ең жоғарғы нәтижелерді шекаралар ретінде таңдау арқылы есептеуге болады. Сондықтан ИМТ көрсетілген аралықта болуы керек.
Осы жағдайда, ер адамның салмағы қалыпты немесе артық болуы мүмкін; салмақ және биіктік өлшемдері нақты қорытынды жасау үшін жеткіліксіз дәлдікке ие болды.