Введение
Интервальная арифметика (также известная как интервальная математика, интервальный анализ или интервальные вычисления) — математический метод, используемый для ограничения ошибок округления и измерений в математических вычислениях путем вычисления границ значений функций. Численные методы, использующие интервальную арифметику, могут гарантировать относительно надежные и математически корректные результаты. Вместо представления значения одним числом, интервальная арифметика или интервальная математика представляет каждое значение как диапазон возможных значений. Математически, вместо работы с неопределенной переменной с действительным значением, интервальная арифметика работает с интервалом, который определяет диапазон значений, которые может принимать. Иными словами, любое значение переменной лежит в замкнутом интервале между и . Функция , примененная к , дает интервал , который включает все возможные значения для всех .
Интервальная арифметика подходит для широкого спектра задач; наиболее часто она используется в научных исследованиях, особенно когда вычисления выполняются программным обеспечением, где она применяется для отслеживания ошибок округления в вычислениях и неопределенностей в знании точных значений физических и технических параметров. Последние часто возникают из-за ошибок измерений и допусков компонентов или ограничений вычислительной точности. Интервальная арифметика также помогает находить гарантированные решения уравнений (например, дифференциальных уравнений) и задач оптимизации.
Interval arithmetic is suitable for a variety of purposes; the most common use is in scientific works, particularly when the calculations are handled by software, where it is used to keep track of rounding errors in calculations and of uncertainties in the knowledge of the exact values of physical and technical parameters. The latter often arise from measurement errors and tolerances for components or due to limits on computational accuracy. Interval arithmetic also helps find guaranteed solutions to equations (such as differential equations) and optimization problems.
Введение
Основная цель интервальной арифметики — предоставить простой способ вычисления верхней и нижней границ области значений функции одной или нескольких переменных. Эти конечные точки не обязательно являются точным супремумом или инфимумом области значений, поскольку точное вычисление этих значений может быть сложным или невозможным; границы должны лишь содержать область значений функции как подмножество. Как правило, эта обработка ограничивается вещественными интервалами, поэтому допустимы выражения вида
где и . Если одно из значений , бесконечно, интервал будет неограниченным; если оба значения бесконечны, интервал будет представлять расширенную вещественную числовую прямую. Поскольку вещественное число можно интерпретировать как интервал , интервалы и вещественные числа могут свободно комбинироваться.
Пример
Рассмотрим, как рассчитывается индекс массы тела (ИМТ). ИМТ вычисляется как масса тела человека в килограммах, деленная на квадрат его роста в метрах. Предположим, что человек использует весы с точностью до одного килограмма, где промежуточные значения неразличимы, а истинный вес округляется до ближайшего целого числа. Например, 79,6 кг и 80,3 кг неразличимы, поскольку весы могут отображать значения только с точностью до килограмма. Маловероятно, что при показании весов 80 кг вес человека составляет ровно 80,0 кг. Таким образом, показания весов 80 кг указывают на вес в диапазоне от 79,5 кг до 80,5 кг, то есть на интервал [79,5; 80,5]. ИМТ мужчины весом 80 кг и ростом 1,80 м составляет приблизительно 24,7. Вес 79,5 кг при том же росте дает ИМТ 24,537, а вес 80,5 кг – 24,846. Поскольку масса тела непрерывна и постоянно возрастает для всех значений в пределах указанного интервала веса, истинный ИМТ должен лежать в пределах этого интервала. Поскольку весь интервал меньше 25, что является пороговым значением между нормальным и избыточным весом, можно с уверенностью заключить, что у человека нормальный вес. Погрешность в этом примере не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если бы мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ мог бы включать пороговое значение 25. В таком случае точности весов было бы недостаточно для однозначного вывода. Диапазон значений ИМТ можно представить как [24,537; 24,846], поскольку этот интервал является надмножеством рассчитанного интервала. Однако диапазон нельзя представить как [23; 26], поскольку этот интервал не содержит возможных значений ИМТ.
The BMI of a man who weighs 80 kg and is 1.80m tall is approximately 24.7. A weight of 79.5 kg and the same height yields a BMI of 24.537, while a weight of 80.5 kg yields 24.846. Since the body mass is continuous and always increasing for all values within the specified weight interval, the true BMI must lie within the interval Since the entire interval is less than 25, which is the cutoff between normal and excessive weight, it can be concluded with certainty that the man is of normal weight. The error in this example does not affect the conclusion (normal weight), but this is not generally true. If the man were slightly heavier, the BMI's range may include the cutoff value of 25. In such a case, the scale's precision would be insufficient to make a definitive conclusion. The range of BMI examples could be reported as since this interval is a superset of the calculated interval. The range could not, however, be reported as , as the interval does not contain possible BMI values.
Многократные интервалы
Высота и вес тела влияют на значение ИМТ. Хотя в приведенном выше примере рассматривалась только изменчивость веса, высота также подвержена неопределенности. Измерения роста в метрах обычно округляются до ближайшего сантиметра: зафиксированное значение 1,79 метра представляет собой рост в интервале. Поскольку ИМТ равномерно увеличивается с увеличением веса и уменьшается с увеличением роста, интервал погрешности можно рассчитать, подставляя наименьшие и наибольшие значения каждого интервала, а затем выбирая наименьший и наибольший результаты в качестве границ. Таким образом, ИМТ должен находиться в интервале.
В данном случае у мужчины может быть нормальный вес или избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными для однозначного заключения.