Кедергілер теориясы: когомологиялық кедергілер және кеңейту процедурасы
Obstruction theory
Математикада кедергілер теориясы – когомологиялық инварианттарды анықтайтын екі теория. Бұл теориялар векторлық өрістер мен үздіксіз бейнелеулерді кеңейтуге қатысты.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, кедергі теориясы – екі түрлі математикалық теорияны білдіретін атау, олардың екеуі де когомологиялық инварианттарды тудырады. Стифель мен Уитнидің алғашқы еңбектерінде, сипаттамалық кластар белгілі бір сызықтық тәуелсіз векторлар жиынының болуына кедергі ретінде анықталған. Кедергі теориясы – когомология теориясының шоғырдың қимасын құру мәселесіне қолданылуы болып табылады.
In mathematics, obstruction theory is a name given to two different mathematical theories, both of which yield cohomological invariants. In the original work of Stiefel and Whitney, characteristic classes were defined as obstructions to the existence of certain fields of linear independent vectors. Obstruction theory turns out to be an application of cohomology theory to the problem of constructing a cross section of a bundle.
Гомотопиялық теорияда
Гомотопиялық теориядағы кедергі теориясының бұрынғы мағынасы – қарапайым кешенде немесе CW кешенінде анықталған үздіксіз бейнелеуді, өлшемге қатысты индуктивті тәсілмен кеңейту процедурасы. Ол дәстүрлі түрде Сэмюэл Эйленбергтің есімімен аталатын Эйленбергтің кедергі теориясы деп белгіленеді. Ол кеңейтуге кедергілерді анықтау үшін гомотопиялық топтардағы коэффициенттері бар кохомологиялық топтарды қолданады. Мысалы, X қарапайым кешенінен Y қарапайым кешеніне, бастапқыда X-тің 0-шы қаңқасында (X-тің төбелері) анықталған бейнелеу үшін, егер 0-шы қаңқаның бейнесі Y-тің бір жолмен байланысқан компонентіне тиесілі болса, 1-ші қаңқаға кеңейту мүмкін болады. 1-ші қаңқадан 2-ші қаңқаға кеңейту, X-тен әрбір қатты үшбұрыштың бейнелеуін анықтауды білдіреді, оның шекаралық қабырғаларында бұрыннан анықталған бейнелеуді ескере отырып. Сол сияқты, бейнелеуді 3-ші қаңқаға кеңейту X-тің әрбір қатты 3-жақты симплексіне бейнелеуді кеңейтуді қамтиды, оның шекарасында бұрыннан анықталған бейнелеуді ескере отырып. Бір кезде, мысалы, X-тің (n-1)-ші қаңқасынан X-тің n-ші қаңқасына бейнелеуді кеңейту, бұл процедура мүмкін болмауы мүмкін. Мұндай жағдайда, әрбір n-ші симплекске оның шекарасында бұрыннан анықталған бейнелеудің гомотопиялық класы πn-1(Y) тағайындалады (кем дегенде біреуі нөлден өзгеше болады). Бұл тағайындамалар πn-1(Y) коэффициенттері бар n-коцейнды анықтайды. Кереметі, бұл коцейн коцикл болып шығады, сондықтан ол Y-тің πn-1(Y) коэффициенттерімен n-ші кохомологиялық тобындағы кохомологиялық класты анықтайды. Егер бұл кохомологиялық класс 0-ге тең болса, онда бейнелеуді X-тің (n-1)-ші қаңқасындағы гомотопиялық класы ішінде өзгертуге болады, сондықтан бейнелеуді X-тің n-ші қаңқасына дейін кеңейтуге болады. Егер класс нөлге тең болмаса, онда ол (n-1)-ші қаңқадағы гомотопиясы берілген n-ші қаңқаға бейнелеуді кеңейтуге кедергі деп аталады.
The older meaning for obstruction theory in homotopy theory relates to the procedure, inductive with respect to dimension, for extending a continuous mapping defined on a simplicial complex, or CW complex. It is traditionally called Eilenberg obstruction theory, after Samuel Eilenberg. It involves cohomology groups with coefficients in homotopy groups to define obstructions to extensions. For example, with a mapping from a simplicial complex X to another, Y, defined initially on the 0 skeleton of X (the vertices of X), an extension to the 1 skeleton will be possible whenever the image of the 0 skeleton will belong to the same path connected component of Y. Extending from the 1 skeleton to the 2 skeleton means defining the mapping on each solid triangle from X, given the mapping already defined on its boundary edges. Likewise, then extending the mapping to the 3 skeleton involves extending the mapping to each solid 3 simplex of X, given the mapping already defined on its boundary. At some point, say extending the mapping from the (n 1) skeleton of X to the n skeleton of X, this procedure might be impossible. In that case, one can assign to each n simplex the homotopy class πn 1(Y) of the mapping already defined on its boundary, (at least one of which will be non zero). These assignments define an n cochain with coefficients in πn 1(Y). Amazingly, this cochain turns out to be a cocycle and so defines a cohomology class in the nth cohomology group of X with coefficients in πn 1(Y). When this cohomology class is equal to 0, it turns out that the mapping may be modified within its homotopy class on the (n 1) skeleton of X so that the mapping may be extended to the n skeleton of X. If the class is not equal to zero, it is called the obstruction to extending the mapping over the n skeleton, given its homotopy class on the (n 1) skeleton.
Құрылыс
Болжап айтуға болады, B – жай ғана жалғасқан симплициалды кешен және p : E → B – F талшықты фибрация. Сонымен қатар, B-нің n қаңқасында σn : Bn → E жартылай анықталған қимасы бар деп есептейік. B-дегі әрбір (n + 1) симплекс Δ үшін σn шекара ∂Δ-мен шектелуі мүмкін (бұл n топологиялық сфера). p әрбір σn(∂Δ)-ны ∂Δ-ға жібергендіктен, σn n сферасынан p^(−1)(Δ)-ға дейінгі бейнелеуді анықтайды. Фибрациялар гомотопияны көтеру қасиетін қанағаттандырады және Δ қысқартылатын болғандықтан, p^(−1)(Δ) гомотопиялық түрде F-ке тең келеді. Осылайша, бұл жартылай анықталған қима әрбір (n + 1) симплекске πn(F) гомотопиялық тобының элементін сәйкестендіреді. Бұл – дәл πn(F) мәнді, n + 1 дәрежелі B-дегі қарапайым кочейннің мәліметтері, яғни C^(n + 1)(B; πn(F)) кочейннің бір элементі. Бұл кочейн кедергі кочейні деп аталады, себебі оның нөлге тең болуы πn(F) гомотопиялық тобының барлық элементтерінің тривиалды екенін білдіреді, яғни біздің жартылай анықталған қимамызды (әр Δ шекарасындағы жартылай анықталған қима мен тұрақты бейнелеу арасындағы гомотопияны пайдаланып) (n + 1) қаңқаға дейін кеңейтуге болады. Осы кочейннің жартылай анықталған қимадан (барлық (n + 1) симплекстерінің барлық шекараларынан алынған кездейсоқ бейнелеулер жинағына қарағанда) шыққандығын дәлелдеу үшін осы кочейннің коцикл екенін пайдалануға болады. Егер (n − 1) қаңқасында түпнұсқамен келісетін σn екі түрлі жартылай анықталған қимадан бастаса, онда алынған коцикл бірінші коциклден кошекарамен ерекшеленеді екенін дәлелдеуге болады. Сондықтан бізде H^(n + 1)(B; πn(F)) кохомологиялық тобының жақсы анықталған элементі бар, егер (n + 1) қаңқасында (n − 1) қаңқасындағы берілген таңдаумен келісетін жартылай анықталған қима болса, онда бұл кохомологиялық класс тривиалды болуы керек. Егер гомотопиялық қималарға рұқсат берілсе, яғни σ : B → E бейнелеуі p ∘ σ B-дегі сәйкестік бейнелеуімен гомотопиялық (онымен тең емес) болса, керісінше де дұрыс. Осылайша, ол (n + 1) қаңқасындағы гомотопияға дейінгі қималардың болуын толық инвариантты түрде сипаттайды.
Suppose that B is a simply connected simplicial complex and that p : E → B is a fibration with fiber F. Furthermore, assume that we have a partially defined section σn : Bn → E on the n skeleton of B. For every (n + 1) simplex Δ in B, σn can be restricted to the boundary ∂Δ (which is a topological n sphere). Because p sends each σn(∂Δ) back to ∂Δ, σn defines a map from the n sphere to p^(−1)(Δ). Because fibrations satisfy the homotopy lifting property, and Δ is contractible; p^(−1)(Δ) is homotopy equivalent to F. So this partially defined section assigns an element of [[homotopy group to every (n + 1) simplex. This is precisely the data of a πn(F) valued simplicial cochain of degree n + 1 on B, i. e. an element of C^(n + 1)(B; πn(F)). This cochain is called the obstruction cochain because it being the zero means that all of these elements of πn(F) are trivial, which means that our partially defined section can be extended to the (n + 1) skeleton by using the homotopy between (the partially defined section on the boundary of each Δ) and the constant map. The fact that this cochain came from a partially defined section (as opposed to an arbitrary collection of maps from all the boundaries of all the (n + 1) simplices) can be used to prove that this cochain is a cocycle. If one started with a different partially defined section σn that agreed with the original on the (n − 1) skeleton, then one can also prove that the resulting cocycle would differ from the first by a coboundary. Therefore we have a well defined element of the cohomology group H^(n + 1)(B; πn(F)) such that if a partially defined section on the (n + 1) skeleton exists that agrees with the given choice on the (n − 1) skeleton, then this cohomology class must be trivial. The converse is also true if one allows such things as homotopy sections, i. e. a map σ : B → E such that p ∘ σ is homotopic (as opposed to equal) to the identity map on B. Thus it provides a complete invariant of the existence of sections up to homotopy on the (n + 1) skeleton.
Қолданбалар
N-ге индукция қолдану арқылы, кесіндіні құру үшін бірінші кедергіні жоғарыда аталған кохомологиялық кластардың нөлдік емес алғашқысы ретінде табуға болады. Бұл негізгі шоғырлардың тривиализациясына кедергілерді анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Кез келген бейнелеуді фибрацияға айналдыруға болатындықтан, бұл құрылымды картаның B-ге E-ге көтерілуіне (гомотопияға дейін) кедергілер бар-жоғын анықтау үшін пайдалануға болады, тіпті p: E → B фибрация болмаса да. Бұл Постников жүйелерін құру үшін маңызды құрал.
By inducting over n, one can construct a first obstruction to a section as the first of the above cohomology classes that is non zero. This can be used to find obstructions to trivializations of principal bundles. Because any map can be turned into a fibration, this construction can be used to see if there are obstructions to the existence of a lift (up to homotopy) of a map into B to a map into E even if p : E → B is not a fibration. It is crucial to the construction of Postnikov systems.
Геометриялық топологияда
Геометриялық топологияда кедергілер теориясы топологиялық көптүрліліктің бөліктік-сызықтық құрылымының болуы және бөліктік-сызықтық көптүрліліктің дифференциалдық құрылымының болуымен айналысады. 2 (Радо) және 3 (Моиз) өлшемдерінде топологиялық және бөліктік-сызықтық көптүрліліктер ұғымдары бірдей. 4-өлшемде олар сәйкес келмейді. 6-өлшемге дейінгі өлшемдерде бөліктік-сызықтық және дифференциалдық көптүрліліктер ұғымдары бірдей.
In geometric topology, obstruction theory is concerned with when a topological manifold has a piecewise linear structure, and when a piecewise linear manifold has a differential structure. In dimension at most 2 (Rado), and 3 (Moise), the notions of topological manifolds and piecewise linear manifolds coincide. In dimension 4 they are not the same. In dimensions at most 6 the notions of piecewise linear manifolds and differentiable manifolds coincide.
Хирургиялық теорияда
Хирургия теориясының екі негізгі сұрағы – n өлшемді Пуанкаре дуалдылығына ие топологиялық кеңістік, n өлшемді көптүрлілікке гомотопиялық теңдес пе, және сондай-ақ n өлшемді көптүрліліктердің гомотопиялық теңдестігі диффеоморфизмге гомотопиялық теңдес пе. Екі жағдайда да n>9 үшін екі кедергі бар: векторлық шоғырдың болуына қатысты негізгі топологиялық K-теориялық кедергі. Егер бұл кедергі жойылса, қалыпты бейнелеу бар, бұл алгебралық L-теориясындағы екінші хирургиялық кедергіні анықтауға мүмкіндік береді, ол гомотопиялық теңдестік алу үшін қалыпты бейнелеуге хирургиялық операция жасау арқылы жүзеге асырылады.
The two basic questions of surgery theory are whether a topological space with n dimensional Poincaré duality is homotopy equivalent to an n dimensional manifold, and also whether a homotopy equivalence of n dimensional manifolds is homotopic to a diffeomorphism. In both cases there are two obstructions for n>9, a primary topological K theory obstruction to the existence of a vector bundle: if this vanishes there exists a normal map, allowing the definition of the secondary surgery obstruction in algebraic L theory to performing surgery on the normal map to obtain a homotopy equivalence.