Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике теория обструкций — это название, данное двум различным математическим теориям, обе из которых дают кохомологические инварианты. В первоначальной работе Стифеля и Уитни характерные классы были определены как препятствия существованию определенных наборов линейно независимых векторов. Теория обструкций оказывается применением теории когомологий к задаче построения сечения расслоения.
In mathematics, obstruction theory is a name given to two different mathematical theories, both of which yield cohomological invariants. In the original work of Stiefel and Whitney, characteristic classes were defined as obstructions to the existence of certain fields of linear independent vectors. Obstruction theory turns out to be an application of cohomology theory to the problem of constructing a cross section of a bundle.
В теории гомотопии
Более старое значение теории обструкций в теории гомотопий связано с процедурой, индуктивной по отношению к размерности, для расширения непрерывного отображения, заданного на симплициальном комплексе или CW-комплексе. Традиционно она называется теорией обструкций Эйленберга, в честь Сэмюэля Эйленберга. Она включает в себя использование групп когомологий с коэффициентами в гомотопических группах для определения обструкций расширению. Например, при заданном отображении из симплициального комплекса X в другой комплекс Y, определённом изначально на 0-скелете X (вершинах X), расширение на 1-скелет будет возможно, если образ 0-скелета принадлежит к той же связной компоненте Y. Расширение с 1-скелета на 2-скелет означает определение отображения на каждом заполненном треугольнике из X, при условии, что отображение уже определено на его граничных ребрах. Аналогично, расширение отображения на 3-скелет включает в себя расширение отображения на каждый заполненный 3-симплекс X, при условии, что отображение уже определено на его границе. В какой-то момент, скажем, при расширении отображения с (n-1)-скелета X на n-скелет X, эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае каждому n-симплексу можно сопоставить класс гомотопии πn-1(Y) отображения, уже определённого на его границе (по крайней мере, один из которых будет отличен от нуля). Эти сопоставления определяют n-коцепь с коэффициентами в πn-1(Y). Удивительно, но эта коцепь оказывается коциклом и, следовательно, определяет класс когомологии в n-й группе когомологий X с коэффициентами в πn-1(Y). Если этот класс когомологии равен 0, то оказывается, что отображение можно изменить в пределах своего класса гомотопии на (n-1)-скелете X так, чтобы отображение можно было расширить на n-скелет X. Если класс не равен нулю, он называется обструкцией для расширения отображения на n-скелет, учитывая его класс гомотопии на (n-1)-скелете.
The older meaning for obstruction theory in homotopy theory relates to the procedure, inductive with respect to dimension, for extending a continuous mapping defined on a simplicial complex, or CW complex. It is traditionally called Eilenberg obstruction theory, after Samuel Eilenberg. It involves cohomology groups with coefficients in homotopy groups to define obstructions to extensions. For example, with a mapping from a simplicial complex X to another, Y, defined initially on the 0 skeleton of X (the vertices of X), an extension to the 1 skeleton will be possible whenever the image of the 0 skeleton will belong to the same path connected component of Y. Extending from the 1 skeleton to the 2 skeleton means defining the mapping on each solid triangle from X, given the mapping already defined on its boundary edges. Likewise, then extending the mapping to the 3 skeleton involves extending the mapping to each solid 3 simplex of X, given the mapping already defined on its boundary. At some point, say extending the mapping from the (n 1) skeleton of X to the n skeleton of X, this procedure might be impossible. In that case, one can assign to each n simplex the homotopy class πn 1(Y) of the mapping already defined on its boundary, (at least one of which will be non zero). These assignments define an n cochain with coefficients in πn 1(Y). Amazingly, this cochain turns out to be a cocycle and so defines a cohomology class in the nth cohomology group of X with coefficients in πn 1(Y). When this cohomology class is equal to 0, it turns out that the mapping may be modified within its homotopy class on the (n 1) skeleton of X so that the mapping may be extended to the n skeleton of X. If the class is not equal to zero, it is called the obstruction to extending the mapping over the n skeleton, given its homotopy class on the (n 1) skeleton.
Строительство
Предположим, что B — простосвязный симплициальный комплекс, а p : E → B — фибрация с волокном F. Кроме того, предположим, что у нас есть частично определённый сечение σn : Bn → E на n-скелете B. Для каждого (n + 1)-симплекса Δ в B, σn можно ограничить границей ∂Δ (которая является топологической n-сферой). Поскольку p отображает каждый σn(∂Δ) обратно в ∂Δ, σn определяет отображение из n-сферы в p⁻¹(Δ). Поскольку фибрации удовлетворяют свойству гомотопического подъёма, а Δ стягиваем, p⁻¹(Δ) гомотопически эквивалентно F. Таким образом, это частично определённое сечение присваивает элемент группы гомотопии каждому (n + 1)-симплексу. Это как раз данные о (πn(F)-значной симплициальной коцепи степени n + 1 на B, то есть элемент C^(n + 1)(B; πn(F)). Эта коцепь называется коцепью препятствия, поскольку её равенство нулю означает, что все эти элементы πn(F) тривиальны, что означает, что наше частично определённое сечение можно продолжить до (n + 1)-скелета, используя гомотопию между (частично определённым сечением на границе каждого Δ) и постоянным отображением. Тот факт, что эта коцепь получена из частично определённого сечения (а не из произвольного набора отображений со всех границ всех (n + 1)-симплексов), можно использовать для доказательства того, что эта коцепь является коциклом. Если начать с другого частично определённого сечения σn, которое совпадает с исходным на (n − 1)-скелете, то можно также доказать, что полученный коцикл будет отличаться от первого кограницей. Следовательно, у нас есть хорошо определённый элемент когомологической группы H^(n + 1)(B; πn(F)) такой, что если существует частично определённое сечение на (n + 1)-скелете, которое совпадает с заданным выбором на (n − 1)-скелете, то этот класс когомологии должен быть тривиальным. Обратное также верно, если допускать такие вещи, как гомотопические сечения, то есть отображение σ : B → E, такое, что p ∘ σ гомотопично (а не равно) тождественному отображению на B. Таким образом, это обеспечивает полный инвариант существования сечений с точностью до гомотопии на (n + 1)-скелете.
Suppose that B is a simply connected simplicial complex and that p : E → B is a fibration with fiber F. Furthermore, assume that we have a partially defined section σn : Bn → E on the n skeleton of B. For every (n + 1) simplex Δ in B, σn can be restricted to the boundary ∂Δ (which is a topological n sphere). Because p sends each σn(∂Δ) back to ∂Δ, σn defines a map from the n sphere to p^(−1)(Δ). Because fibrations satisfy the homotopy lifting property, and Δ is contractible; p^(−1)(Δ) is homotopy equivalent to F. So this partially defined section assigns an element of [[homotopy group to every (n + 1) simplex. This is precisely the data of a πn(F) valued simplicial cochain of degree n + 1 on B, i. e. an element of C^(n + 1)(B; πn(F)). This cochain is called the obstruction cochain because it being the zero means that all of these elements of πn(F) are trivial, which means that our partially defined section can be extended to the (n + 1) skeleton by using the homotopy between (the partially defined section on the boundary of each Δ) and the constant map. The fact that this cochain came from a partially defined section (as opposed to an arbitrary collection of maps from all the boundaries of all the (n + 1) simplices) can be used to prove that this cochain is a cocycle. If one started with a different partially defined section σn that agreed with the original on the (n − 1) skeleton, then one can also prove that the resulting cocycle would differ from the first by a coboundary. Therefore we have a well defined element of the cohomology group H^(n + 1)(B; πn(F)) such that if a partially defined section on the (n + 1) skeleton exists that agrees with the given choice on the (n − 1) skeleton, then this cohomology class must be trivial. The converse is also true if one allows such things as homotopy sections, i. e. a map σ : B → E such that p ∘ σ is homotopic (as opposed to equal) to the identity map on B. Thus it provides a complete invariant of the existence of sections up to homotopy on the (n + 1) skeleton.
Приложения
Индуцируя по n, можно построить первое препятствие к сечению как первый из вышеуказанных классов когомологий, отличный от нуля. Это можно использовать для нахождения препятствий к тривиализации главных расслоений. Поскольку любое отображение можно превратить в фибрацию, эта конструкция позволяет определить, существуют ли препятствия к существованию подъема (с точностью до гомотопии) отображения в B к отображению в E, даже если p: E → B не является фибрацией. Она играет ключевую роль в построении систем Постникова.
By inducting over n, one can construct a first obstruction to a section as the first of the above cohomology classes that is non zero. This can be used to find obstructions to trivializations of principal bundles. Because any map can be turned into a fibration, this construction can be used to see if there are obstructions to the existence of a lift (up to homotopy) of a map into B to a map into E even if p : E → B is not a fibration. It is crucial to the construction of Postnikov systems.
В геометрической топологии
В геометрической топологии теория обструкций изучает, когда топологическое многообразие допускает кусочно-линейную структуру, и когда кусочно-линейное многообразие допускает дифференцируемую структуру. В размерностях не более 2 (Rado) и 3 (Moise) понятия топологических и кусочно-линейных многообразий совпадают. В размерности 4 они различны. В размерностях не более 6 понятия кусочно-линейных и дифференцируемых многообразий совпадают.
In geometric topology, obstruction theory is concerned with when a topological manifold has a piecewise linear structure, and when a piecewise linear manifold has a differential structure. In dimension at most 2 (Rado), and 3 (Moise), the notions of topological manifolds and piecewise linear manifolds coincide. In dimension 4 they are not the same. In dimensions at most 6 the notions of piecewise linear manifolds and differentiable manifolds coincide.
В теории хирургии
Два основных вопроса теории хирургии заключаются в том, является ли топологическое пространство с n-мерной дуальностью Пуанкаре гомотопически эквивалентным n-мерному многообразию, и также является ли гомотопическая эквивалентность n-мерных многообразий гомотопична диффеоморфизму. В обоих случаях, при n>9, существуют два препятствия: первичное топологическое препятствие в теории K к существованию векторного расслоения. Если оно обращается в нуль, то существует нормальное отображение, позволяющее определить вторичное хирургическое препятствие в алгебраической теории L для проведения хирургии над нормальным отображением и получения гомотопической эквивалентности.
The two basic questions of surgery theory are whether a topological space with n dimensional Poincaré duality is homotopy equivalent to an n dimensional manifold, and also whether a homotopy equivalence of n dimensional manifolds is homotopic to a diffeomorphism. In both cases there are two obstructions for n>9, a primary topological K theory obstruction to the existence of a vector bundle: if this vanishes there exists a normal map, allowing the definition of the secondary surgery obstruction in algebraic L theory to performing surgery on the normal map to obtain a homotopy equivalence.