Кіріспе
Екі вектор немесе бивектор – типті тензор және ол екі форманың дуалы, яғни екі форманы нақты сандарға (немесе жалпы алғанда скалярларға) бейнелейтін сызықтық функционал. Екі вектордың тензорлық көбейтіндісі екі вектор құрайды. Сондықтан, кез келген екі форманы векторлар жұбының тензорлық көбейтінділерінің сызықтық комбинациясы түрінде, әсіресе базалық векторлар жұбының тензорлық көбейтінділерінің сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге болады. Егер f екі вектор болса, онда
where the f α β are the components of the two vector. Notice that both indices of the components are contravariant. This is always the case for two vectors, by definition. A bivector may operate on a one form, yielding a vector:
,
although a problem might be which of the upper indices of the bivector to contract with. (This problem does not arise with mixed tensors because only one of such tensor's indices is upper.) However, if the bivector is symmetric then the choice of index to contract with is indifferent. An example of a bivector is the stress–energy tensor. Another one is the orthogonal complement of the metric tensor.
, мұнда fαβ – екі вектордың компоненттері. Көріп отырғанымыздай, компоненттердің екі индексі де ковариантты. Бұл әрқашан екі векторлар үшін, анықтама бойынша дұрыс. Бивектор бір формаға әрекет ете алады, нәтижесінде вектор шығады:
where the f α β are the components of the two vector. Notice that both indices of the components are contravariant. This is always the case for two vectors, by definition. A bivector may operate on a one form, yielding a vector:
,
although a problem might be which of the upper indices of the bivector to contract with. (This problem does not arise with mixed tensors because only one of such tensor's indices is upper.) However, if the bivector is symmetric then the choice of index to contract with is indifferent. An example of a bivector is the stress–energy tensor. Another one is the orthogonal complement of the metric tensor.
, бірақ бивектордың жоғарғы индекстерінің қайсысымен қысқарту жасау мәселесі туындауы мүмкін. (Бұл мәселе аралас тензорлар үшін туындамайды, себебі мұндай тензордың тек бір ғана индексі жоғарғы.) Дегенмен, егер бивектор симметриялық болса, онда қысқартуға арналған индекстің таңдалуы маңызсыз. Бивектордың мысалы – кернеу-энергия тензоры. Тағы бір мысал – метрикалық тензордың ортогональды толықтығы.
where the f α β are the components of the two vector. Notice that both indices of the components are contravariant. This is always the case for two vectors, by definition. A bivector may operate on a one form, yielding a vector:
,
although a problem might be which of the upper indices of the bivector to contract with. (This problem does not arise with mixed tensors because only one of such tensor's indices is upper.) However, if the bivector is symmetric then the choice of index to contract with is indifferent. An example of a bivector is the stress–energy tensor. Another one is the orthogonal complement of the metric tensor.
Матрицалық жазу
Егер векторларды тек баған матрицалары түрінде, ал ковекторларды қатар матрицалары түрінде қарастырсақ, онда баған векторға әрекет ететін квадрат матрица баған векторды беруі тиіс, демек квадрат матрицалар аралас тензорларды ғана бейнелей алады. Дегенмен, матрицаның абстрактілі алгебралық анықтамасында мұндай шектеулер жоқ. Осы шектеуден бас тартсақ, матрицаларды бивекторларды және екі формаларды бейнелеу үшін де қолдануға болады. Мысалы: немесе Егер f симметриялы болса, яғни , онда .
or
If f is symmetric, i. e., , then .