Введение

Двувектор или бивектор — это тензор типа и он является двойственным к двухформе, то есть линейному функционалу, который отображает двухформы в вещественные числа (или, в более общем случае, в скаляры). Тензорное произведение пары векторов является двувектором. Любая двухформа может быть выражена как линейная комбинация тензорных произведений пар векторов, в частности, как линейная комбинация тензорных произведений пар базисных векторов. Если f — двувектор, то

где fαβ — компоненты двувектора. Обратите внимание, что оба индекса компонентов являются ковариантными. Это всегда верно для двувекторов по определению. Бивектор может действовать на одноформу, в результате чего получается вектор: , хотя может возникнуть вопрос о том, с каким из верхних индексов бивектора проводить свёртку. (Эта проблема не возникает со смешанными тензорами, поскольку только один индекс такого тензора является верхним.) Однако, если бивектор симметричен, то выбор индекса для свёртки не имеет значения. Примером бивектора является тензор энергии-импульса. Другой пример — ортогональное дополнение к метрическому тензору.

Матричная обозначение

Если исходить из предположения, что векторы могут быть представлены только как матрицы-столбцы, а ковекторы – как матрицы-строки, то, поскольку квадратная матрица, действующая на вектор-столбец, должна давать вектор-столбец, следует, что квадратные матрицы могут представлять только смешанные тензоры. Однако в абстрактном алгебраическом определении матрицы нет ничего, что предписывало бы делать такие предположения. Отбросив это предположение, матрицы можно использовать для представления бивекторов, а также дифференциальных двухформ. Пример:

или
Если f симметрична, то есть , то .