Сандық айнымалылардың ковариациясы мен корреляциясы
Covariance and correlation
Ықтималдық пен статистикадағы ковариация мен корреляция ұғымдары: екі кездейсоқ айнымалының өзара байланысын, дисперсияны түсіндіру. Математикалық анықтамалар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Ықтималдықтар және статистика негіздері
Concepts in probability and statistics
Ықтималдықтар теориясы мен статистикада ковариация және корреляция математикалық ұғымдары өте ұқсас. Екеуі де екі кездейсоқ айнымалының немесе кездейсоқ айнымалылар жиынының күтілетін мәндерінен бірдей үлгіде ауытқуға бейімділігінің дәрежесін сипаттайды. Егер X және Y екі кездейсоқ айнымалы болса, олардың орташа (күтілетін) мәндері μX және μY, ал стандартты ауытқулары σX және σY болса, онда олардың ковариациясы мен корреляциясы былай болады:
In probability theory and statistics, the mathematical concepts of covariance and correlation are very similar. Both describe the degree to which two random variables or sets of random variables tend to deviate from their expected values in similar ways. If X and Y are two random variables, with means (expected values) μX and μY and standard deviations σX and σY, respectively, then their covariance and correlation are as follows:
ковариация
covariance
корреляция
correlation
сондықтан
so that
мұнда E – күтілетін мән операторы. Корреляцияның өлшемсіз екенін, ал ковариацияның бірліктері екі айнымалының бірліктерін көбейту арқылы алынатынын атап өткен жөн. Егер Y әрқашан X-пен бірдей мәнді қабылдаса, онда бізде айнымалының өзімен ковариациясы (яғни) болады, ол дисперсия деп аталады және көбінесе стандартты ауытқудың квадраты ретінде белгіленеді. Айырмалының өзімен корреляциясы әрқашан 1-ге тең (екі дисперсия да нөлге тең болатын ерекше жағдайда, себебі X әрқашан бірдей мәнді қабылдайды, онда корреляция жоқ, өйткені оны есептеу үшін 0-ге бөлу қажет болады). Жалпы алғанда, екі айнымалы арасындағы корреляция 1 (немесе –1) болады, егер олардың бірі әрқашан оң (немесе теріс) бұрылысы бар екіншісінің сызықтық функциясымен нақты берілген мәнді қабылдаса. Теориялық ковариациялар мен корреляциялардың мәндері жоғарыда көрсетілгендей байланысты болғанымен, осы шамалардың үлгілік бағалауларының ықтималдық үлестірімдері ешқандай қарапайым тәсілмен байланысты емес және оларды әдетте жеке қарастыру қажет.
where E is the expected value operator. Notably, correlation is dimensionless while covariance is in units obtained by multiplying the units of the two variables. If Y always takes on the same values as X, we have the covariance of a variable with itself (i. e. ), which is called the variance and is more commonly denoted as the square of the standard deviation. The correlation of a variable with itself is always 1 (except in the degenerate case where the two variances are zero because X always takes on the same single value, in which case the correlation does not exist since its computation would involve division by 0). More generally, the correlation between two variables is 1 (or –1) if one of them always takes on a value that is given exactly by a linear function of the other with respectively a positive (or negative) slope. Although the values of the theoretical covariances and correlations are linked in the above way, the probability distributions of sample estimates of these quantities are not linked in any simple way and they generally need to be treated separately.
Бірнеше кездейсоқ айнымалылар
Кездейсоқ айнымалылардың саны 1-ден асатын жағдайда, оларды кездейсоқ векторға біріктіруге болады, ондағы i-ші элементі – i-ші кездейсоқ айнымалы. Бұл кезде дисперсиялар мен ковариацияларды ковариациялық матрицаға орналастыруға болады, онда (i, j) элементі – i-ші және j-ші кездейсоқ айнымалылар арасындағы ковариация. Сол сияқты, корреляцияларды да корреляциялық матрицаға орналастыруға болады.
With any number of random variables in excess of 1, the variables can be stacked into a random vector whose i th element is the i th random variable. Then the variances and covariances can be placed in a covariance matrix, in which the (i, j) element is the covariance between the i th random variable and the j th one. Likewise, the correlations can be placed in a correlation matrix.