Кіріспе
Ықтималдық үлестірімі
Ықтималдық теориясы мен статистикада n және p параметрлері бар биномдық үлестірімі – әрқайсысы "иә" немесе "жоқ" жауабын қажет ететін және сәттілік (p ықтималдығымен) немесе сәтсіздік (1-p ықтималдығымен) нәтижесі бар n тәуелсіз тәжірибелер тізбегіндегі сәттіліктер санының дискретті ықтималдық үлестірімі. Жеке сәттілік/сәтсіздік тәжірибесі Бернулли сынағы немесе Бернулли эксперименті деп аталады, ал нәтижелер тізбегі Бернулли процесі деп аталады. Егер n = 1 болса, биномдық үлестірімі Бернулли үлестіріміне айналады. Биномдық үлестірімі – статистикалық маңыздылықты бағалау үшін қолданылатын биномдық тесттің негізі болып табылады. Биномдық үлестірімі N популяциясынан алмастыру арқылы алынған n үлгісіндегі сәттіліктер санын модельдеу үшін жиі қолданылады. Егер үлгіні алмастырусыз алса, нәтижелер тәуелсіз болмайды, сондықтан алынған үлестірімі биномдық емес, гипергеометриялық үлестірімі болады. Алайда, егер N, n-ден әлдеқайда үлкен болса, биномдық үлестірімі жақсы жуықтама болып қалады және кеңінен қолданылады.
Ықтималдық массалық функциясы
Жалпы, егер X кездейсоқ айнымалысы n ∈ және p ∈ [0,1] параметрлері бар биномдық үлестірілімді сақтаса, онда X ~ B(n, p) деп жазамыз. n тәуелсіз Бернулли сынақтарында (бірдей p ықтималдығымен) дәл k сәттілікке ие болу ықтималдығы, ықтималдылық массалық функциясымен беріледі:
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
k = 0, 1, 2, ..., n үшін, мұнда
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
– биномдық коэффициент, сондықтан бұл үлестірілімнің аты. Формуланы былай түсінуге болады: бірінші k сынақтарда «сәттілік», ал қалған (соңғы) n-k сынақтарда «сәтсіздік» нәтижесіне ие Бернулли сынақтарының тізбегін алу ықтималдығы. Сынақтар тәуелсіз болғандықтан және олардың арасындағы ықтималдықтар өзгермейтін болғандықтан, k сәттілікке (және n-k сәтсіздікке) ие кез келген тізбектің (пермутацияның) пайда болу ықтималдығы бірдей (сәттіліктердің тізбектегі орналасуына қарамастан). Мұндай тізбектер саны – екі типтегі n объектінің пермутацияларының саны (мүмкін тізбектер), мұнда k – бір типтегі объектілердің саны (ал n-k – екінші типтегі объектілердің саны, «тип» – бірдей объектілердің жиынтығын білдіреді, ал мұндағы екі тип – «сәттілік» және «сәтсіздік»). Биномдық үлестірілім осы тізбектердің кез келгенін алу ықтималдығымен айналысады, яғни олардың біреуін алу ықтималдығы рет қосылуы керек, сондықтан биномдық үлестірілім ықтималдығы үшін анықтамалық кестелерді құрастырғанда, әдетте кесте n/2 мәндеріне дейін толтырылады. Себебі k > n/2 үшін ықтималдықты оның толықтыруы арқылы есептеуге болады:
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
f(k, n, p) өрнегін k функциясы ретінде қарастырғанда, оны максималдайтын k мәні болады. Бұл k мәнін есептеуге болады:
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
және оны 1-мен салыстыруға болады. Әрқашан M бүтін саны болады, ол келесі шартты қанағаттандырады:
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
f(k, n, p) k < M үшін монотонды өседі және k > M үшін монотонды төмендейді, (n+1)p бүтін сан болған жағдайды қоспағанда. Бұл жағдайда f максималды болатын екі мән бар: (n+1)p және (n+1)p – 1. M – Бернулли сынақтарының ең ықтимал нәтижесі (яғни, ең мүмкін нәтиже, бірақ бұл жалпы алғанда да мүмкін емес) және ол режим деп аталады. Эквивалентті түрде, ең кіші бүтін сан функциясын қолдансақ, мынаны аламыз:
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
, тривиальды жағдайды қоспағанда, оны жеке тексеру керек.
for k = 0, 1, 2, , n, where
is the binomial coefficient, hence the name of the distribution. The formula can be understood as follows: is the probability of obtaining the sequence of Bernoulli trials in which the first trials are “successes“ and the remaining (last) trials result in “failure“. Since the trials are independent with probabilities remaining constant between them, any sequence (permutation) of trials with successes (and failures) has the same probability of being achieved (regardless of positions of successes within the sequence). There are such sequences, since counts the number of permutations (possible sequences) of objects of two types, with being the number of objects of one type (and the number of objects of the other type, with “type“ meaning a collection of identical objects and the two being “success“ and “failure“ here). The binomial distribution is concerned with the probability of obtaining any of these sequences, meaning the probability of obtaining one of them must be added times, hence
In creating reference tables for binomial distribution probability, usually the table is filled in up to n/2 values. This is because for k > n/2, the probability can be calculated by its complement as
Looking at the expression f(k, n, p) as a function of k, there is a k value that maximizes it. This k value can be found by calculating
and comparing it to 1. There is always an integer M that satisfies
f(k, n, p) is monotone increasing for k < M and monotone decreasing for k > M, with the exception of the case where (n + 1)p is an integer. In this case, there are two values for which f is maximal: (n + 1)p and (n + 1)p − 1. M is the most probable outcome (that is, the most likely, although this can still be unlikely overall) of the Bernoulli trials and is called the mode. Equivalently, Taking the floor function, we obtain Except the trivial case of , which must be checked separately.
Мысал
Егер бір тиын лақтырылғанда 0,3 ықтималдықпен сырға шығарса, 6 рет лақтырудың ішінде дәл 4 сырға шығу ықтималдығы:
Орташа
Жалпы, биномиалдық үлестірудің медианын табу үшін бір ғана формула жоқ, тіпті ол бірегей болмауы мүмкін. Дегенмен, бірнеше ерекше нәтижелер белгілі: Егер *n* – бүтін сан болса, онда орташа, медиана және мода сәйкес келіп, тең болады *n*. Кез келген медиана *m* интервалында болуы керек [0, *n*]. Медиана *m* орташадан тым алыс болмауы керек: Медиана бірегей және *m* = round(*np*) тең, егер *np* ≥ 1 (ал *n* жұп болған жағдайда емес). Егер *np* = 1 және *n* тақ болса, онда интервалдағы [(*np*), (*np*)+1] кез келген сан *m* биномиалдық үлестірудің медианасы болып табылады. Егер *np* = 1 және *n* жұп болса, онда (*np*) бірегей медиана болады.
If is an integer, then the mean, median, and mode coincide and equal Any median m must lie within the interval A median m cannot lie too far away from the mean: The median is unique and equal to m = round(np) when (except for the case when and n is odd). When and n is odd, any number m in the interval is a median of the binomial distribution. If and n is even, then is the unique median.
Вальд әдісі
0,5/n мөлшерінде үздіксіздік түзетуі қосылуы мүмкін.
Пуассонның биномдық үлестірімі
Биномиалдық үлестіру – Пуассон биномиалдық үлестіруінің ерекше жағдайы, ол n тәуелсіз бір-бірінен өзгеше Бернулли сынақтарының B(pi) қосындысының үлестірімі.
Екі биномдық үлестірілімнің арақатынасы
Бұл нәтижені алғаш рет Кац және авторлар тобы 1978 жылы шығарды. X ~ B(n, p1) және Y ~ B(m, p2) тәуелсіз болсын. 1=T = (X/n) / (Y/m) деп белгілейік. Онда log(T) шамамен орташасы log(p1/p2) және дисперсиясы ((1/p1) − 1)/n + ((1/p2) − 1)/m қалыпты үлестірімге ие.
Бернулли үлестірімі
Бернулли таралымы – биномдық таралымының ерекше жағдайы, онда n = 1. Шартты түрде, X ~ B(1, p) белгісі X ~ Bernoulli(p) дегенмен бірдей мағынаны білдіреді. Керісінше, кез келген биномдық таралым B(n, p) – бірдей p ықтималдығымен жүзеге асырылатын n тәуелсіз Бернулли тәжірибелерінің қосындысының таралымы болып табылады.
Пуассонның шамалауы
Биномдық үлестіру, сынақтар саны шексіздікке ұмтылғанда және np көбейтіндісі шекті мәнге ұмтылғанда, Пуассон үлестіруіне жақындайды. Сондықтан, λ = np параметрі бар Пуассон үлестіруін, егер n жеткілікті үлкен және p жеткілікті кішкентай болса, биномдық үлестірудің B(n, p) түріне жуықтау ретінде қолдануға болады. Практикалық ережелер бойынша, бұл жуықтау n ≥ 20 және p ≤ 0,05 болса, және np ≤ 1 орындалса, немесе n > 50 және p < 0,1 болса, және np < 5 орындалса, немесе n ≥ 100 және np ≤ 10 болса жақсы нәтиже береді. Пуассон жуықтауының дәлдігі туралы толық ақпарат алу үшін Novak, 4-тарау және ондағы сілтемелерге қараңыз.
Таратуды шектеу
Пуассонның шектеу теоремасы: n ∞-ға жақындағанда және p 0-ға жақындағанда, np көбейтіндісі тұрақты болып сақталса, биномдық (n, p) үлестірімі λ = np күтілетін мәнімен Пуассон үлестіріміне жақындайды. Біркелкі алдын ала таралымды ескере отырып, k табысқа жеткен n тәуелсіз оқиға берілгенде, сәттілік ықтималдығы p үшін кейінгі таралым бета-таралым болады.
Кездейсоқ сандар генерациясы
Кездейсоқ сандарды жасау әдістері, мұнда шекті үлестірілім биномдық үлестірілім болып табылады, жақсы дамыған. Биномдық үлестірілімнен кездейсоқ мәндердің үлгілерін алудың бір жолы – инверсия алгоритмін қолдану. Мұны істеу үшін, 1=Pr(X = k) ықтималдығын 0-ден n-ге дейінгі барлық k мәндері үшін есептеу қажет. (Бұл ықтималдықтардың қосындысы бүкіл үлгі кеңістігін қамту үшін бірге шамамен бірге тең болуы керек.) Содан кейін, псевдокездейсоқ сан генераторын пайдаланып 0 мен 1 арасындағы үлгілерді біркелкі түрде жасап, алғашқы қадамда есептелген ықтималдықтарды қолдану арқылы есептелген үлгілерді дискретті сандарға түрлендіруге болады.
Тарих
Бұл үлестіруді Якоб Бернулли жасаған. Ол p = r/(r + s) жағдайын қарастырды, мұнда p – сәттілік ықтималдығы, ал r және s – оң бүтін сандар. Блез Паскаль бұрынғыда p = 1/2 жағдайын қарастырып, сәйкес биномдық коэффициенттерді қазір Паскаль үшбұрышы деп танылатын кестеге түсірген.