Кіріспе
Мүмкіндік үлестірімі
Коши үлестірімі, Аугустин Кошидің есімімен аталып, үздіксіз ықтималдық үлестірімі болып табылады. Ол, әсіресе физиктер арасында Лоренц үлестірімі (Хендрик Лоренцтің атымен), Коши–Лоренц үлестірімі, Лоренц функциясы немесе Брейт–Вайгнер үлестірімі деп те белгілі. Коши үлестірімі – біркелкі таралған бұрышпен шығатын сәуленің x осімен қиылысу нүктесінің таралымы. Бұл сондай-ақ, орташа мәні нөлге тең екі тәуелсіз, қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалардың қатынасының үлестірімі де болып табылады. Коши үлестірімі статистикада «патологиялық» үлестірімнің канондық мысалы ретінде жиі қолданылады, себебі оның математикалық күтілуі мен дисперсиясы анықталмаған (бірақ төменде қараңыз). Коши үлестірімінің бірінші ретке тең немесе одан жоғары дәрежелі шекті моменттері жоқ; тек бөлшек абсолюттік моменттер ғана бар. Коши үлестірімінің момент туғызатын функциясы жоқ. Математикада ол Пуассон ядросымен тығыз байланысты, ол жоғарғы жарты жазықтықтағы Лаплас теңдеуінің түбір шешімі болып табылады. Ол ықтималдық тығыздық функциясы аналитикалық түрде өрнектеле алатын, тұрақты үлестірімдердің санатындағы шамалы үлестірімдердің бірі болып табылады, ал қалғандары – қалыпты үлестірім және Леви үлестірімі.
Тарих
Коши таралымының тығыздық функциясының түрін Ферма 1659 жылы геометриялық тұрғыдан зерттеді, ал кейіннен Агнези оны 1748 жылғы есептеулер оқулығында мысал ретінде келтіргеннен кейін «Агнезидің сиқыршысы» деп аталды. Атына қарамастан, Коши таралымының қасиеттерін алғаш рет француз математигі Пуассон 1824 жылы жариялаған, ал Коши бұл таралыммен 1853 жылғы академиялық пікірсайыс кезінде ғана байланыстырылды. Пуассон мұндай таралымды ұстанған байқаулардың орташасы есептелгенде, орташа қателік кез келген шекті мәнге жақындамайтынын атап көрсетті. Сондықтан Лапластың орталық шек теоремасын мұндай таралымға қолдануы дұрыс болмады, себебі ол шекті орташа және дисперсия бар деп есептеді. Дегенмен, Пуассон бұл мәселені маңызды деп санамады, ал Кошимен ұзақ пікірсайысқа түскен Бьенаме одан өзгеше ойда болды.
Құрылыстар
Мұнда ең маңызды конструкциялар келтірілген.
Оралу симметриясы
Егер біреу сызықтың алдында тұрса және шарды сызыққа қарай біркелкі түрде кездейсоқ бағытта (дәлірек айтқанда бұрышпен) тепсе, онда шардың сызыққа тиетін нүктесінің таралуы Коши таралуы болады. Әрі, x y жазықтығындағы бір нүктені қарастырайық және осы нүкте арқылы өтетін түзуді таңдап, оның бағытын (x осьпен арасындағы бұрышты) біркелкі түрде кездейсоқ (90° мен +90° аралығында) таңдайық. Түзудің x осьпен қиылысқан нүктесі Коши таралуының орналасуы мен масштабымен сипатталады. Бұл анықтама стандартты Коши таралуынан үлгі алудың оңай жолын ұсынады. Егер U, [-1, 1] аралығындағы біркелкі таралымнан алынған үлгі болса, онда стандартты Коши таралуынан үлгіні былай алуға болады:
This definition gives a simple way to sample from the standard Cauchy distribution. Let be a sample from a uniform distribution from , then we can generate a sample, from the standard Cauchy distribution using
Егер X және Y екі тәуелсіз, математикалық күтілуі 0 және дисперсиясы 1 болатын қалыпты таралымнан алынған кездейсоқ шамалар болса, онда олардың қатынасы X/Y стандартты Коши таралуына ие болады. Көбірек айтқанда, егер жазықтықта айналмалы симметриялық таралым болса, онда олардың қатынасы стандартты Коши таралуына ие болады.
Қасиеттері
Коши таралымы – орташасы, дисперсиясы және жоғары моменттері анықталмаған таралымның мысалы. Оның модасы және медианасы жақсы анықталған және екеуі де бірдей. Коши таралымы – шексіз бөлінетін ықтималдық таралымы. Ол сондай-ақ қатаң тұрақты таралым болып табылады. Барлық тұрақты таралымдар сияқты, Коши таралымына жататын орналасу-өлшем отбасы нақты коэффициенттері бар сызықтық түрлендірулерге қатысты жабық. Сонымен қатар, Коши таралымы нақты коэффициенттері бар сызықтық бөлшек түрлендірулерге қатысты да жабық. Осы орайда, McCullagh-тың Коши таралымдарының параметризациясына да қараңыз.
The Cauchy distribution is an infinitely divisible probability distribution. It is also a strictly stable distribution. Like all stable distributions, the location scale family to which the Cauchy distribution belongs is closed under linear transformations with real coefficients. In addition, the Cauchy distribution is closed under linear fractional transformations with real coefficients. In this connection, see also McCullagh's parametrization of the Cauchy distributions.
Коши таралымдарының қосындысы
Егер IID үлгілері стандартты Коши таралымынан алынған болса, онда олардың үлгі орташасы да стандартты Коши таралымынан болады. Атап айтқанда, орташа мән орташаға жақындамайды, сондықтан стандартты Коши таралымы үлкен сандар заңына бағынбайды. Бұл, PDF арқылы қайталап интегралдау арқылы немесе, ыңғайлырақ, стандартты Коши таралымының сипаттамалық функциясын қолдану арқылы дәлелдеуге болады (төменде қараңыз): Осымен бізде , демек , стандартты Коши таралымына ие болады. Көбірек айтқанда, егер тәуелсіз болса және орналасу параметрлері мен масштабтарымен Коши таралымынан бөлінген болса, және нақты сандар болса, онда Коши орналасуы мен масштабымен бөлінеді. Тәуелсіз Коши таралымдарының кез келген салмақталған қосындысы үшін үлкен сандар заңының жоқ екенін көреміз. Бұл орталық шектеу теоремасындағы шекті дисперсия шартын алып тастауға болмайтынын көрсетеді. Бұл сондай-ақ барлық тұрақты таралымдарға тән орталық шектеу теоремасының кеңейтілген түрінің мысалы болып табылады, оның ішінде Коши таралымы ерекше жағдайды құрайды.
Орталық шектеуіш теоремасы
Егер тәуелсіз және бірдей үлестірімді (IID) үлгілер, олардың ықтималдық тығыздық функциясы (PDF) шекті, бірақ нөлден өзгеше болса, онда таралу бойынша масштаб параметрі Коши таралымына жақындайды.
Өзгешелік функциясы
Коши таратылған кездейсоқ айнымалыны белгілейік. Коши таралымының сипаттамалық функциясы былай берілген, ол ықтималдық тығыздығының Фурье түрлендірілісі болып табылады. Бастапқы ықтималдық тығыздығын сипаттамалық функция арқылы, негізінен кері Фурье түрлендірілісін қолдану арқылы өрнектеуге болады:
which is just the Fourier transform of the probability density. The original probability density may be expressed in terms of the characteristic function, essentially by using the inverse Fourier transform:
The nth moment of a distribution is the nth derivative of the characteristic function evaluated at Observe that the characteristic function is not differentiable at the origin: this corresponds to the fact that the Cauchy distribution does not have well defined moments higher than the zeroth moment.
Таратудың n-ші моменті – сипаттамалық функцияның n-ші туындысы, нөлде есептелгенде. Сипаттамалық функция нөлде дифференциалданбайтынын ескеріңіз: бұл Коши таралымының нөлдік моменттен жоғары анықталған моменттерінің болмауымен байланысты.
which is just the Fourier transform of the probability density. The original probability density may be expressed in terms of the characteristic function, essentially by using the inverse Fourier transform:
The nth moment of a distribution is the nth derivative of the characteristic function evaluated at Observe that the characteristic function is not differentiable at the origin: this corresponds to the fact that the Cauchy distribution does not have well defined moments higher than the zeroth moment.
Мүгедектер
Коши таралымы көбінесе элементарлық ықтималдық курстарында анықталмаған (немесе "белгісіз") моменттері бар таралымның мысалы ретінде келтіріледі.
Үлгілік сәттер
Егер стандартты Коши таралымынан тәуелсіз және бірдей үлестірілген (IID) үлгілер алсақ, онда олардың үлгілік орташасының тізбегі де стандартты Коши таралымын қабылдайды. Осылайша, қанша мүше алсақ та, үлгілік орташа жиналмайды. Сол сияқты, үлгілік дисперсия да жиналмайды. Үлгілік траекториясы ұзақ уақыт бойы нөлге баяу жақындап, кейде нөлден үлкен секірулер жасайды, бірақ ешқашан тым алыс кетпейді. Үлгілік дисперсияның траекториясы да осыған ұқсас, бірақ секірулер ыдыраудан гөрі жылдам жинақталып, шексіздікке қарай шашырайды. Бұл екі траектория түрі суретте көрсетілген. 1-реттен төмен үлгілік моменттер нөлге жиналады. 2-реттен жоғары үлгілік моменттер үлгілік дисперсиядан да жылдам шексіздікке шашырайды.