Кіріспе

Математикада, әсіресе категориялар теориясында, экспоненциалдық объект немесе карта объектісі – жиын теориясындағы функция кеңістігінің категориялық жалпыламасы болып табылады. Барлық шекті көбейтінділері мен экспоненциалдық объектілері бар категориялар картезиялық жабық категориялар деп аталады. Қосымша көбейтінділері жоқ категорияларда (мысалы, Top категориясының ішкі категорияларында) экспоненциалдық заң сақталуы мүмкін.

Жалпыға ортақ меншік

Экспоненциал – бұл көбейтінді функторынан объектіге дейінгі универсалды морфизм. Бұл универсалды морфизм объекті мен морфизмнен құралған.

Мысалдар

Жинақтар санатында экспоненциалдық объект – барлық функциялар жиыны. Карта – бұл бағалау картасы, ол жұпты жібереді. Кез келген карта үшін карта – бұл :

Гейтинг алгебрасы – бұл барлық экспоненциалдық объектілері бар шектелген тор. Heyting импликациясы, , – бұл альтернативті жазу тәсілі. Жоғарыдағы қосымша нәтижелері импликацияның кездесуге оң жақ қосымша болуына ауысады. Бұл қосымшаны немесе толыққанды түрде былай жазуға болады:

Топологиялық кеңістіктер санатында экспоненциалдық объект бар, егер кеңістік жергілікті компактты Хаусдорф кеңістігі болса. Бұл жағдайда кеңістік – бұл -тан -ға барлық үздіксіз функциялар жиыны, түйіспелі ашық топологиямен бірге. Бағалау картасы жиынтықтар санатындағыдай; ол жоғарыда аталған топологиямен үнемі жалғасады. Егер кеңістік жергілікті компактты Хаусдорф болмаса, экспоненциалдық объект болмауы мүмкін (кеңістік әлі де бар, бірақ ол экспоненциалдық объект бола алмайды, себебі бағалау функциясы үздіксіз болуы міндетті емес). Осы себепті топологиялық кеңістіктер санаты Картезиялық жабық емес. Алайда, жергілікті компактты топологиялық кеңістіктер санаты да Картезиялық жабық емес, себебі жергілікті компактты кеңістіктер үшін жергілікті компактты болу міндетті емес және . Кеңістіктер санатының Картезиялық жабық категориясы, мысалы, компактты түрде құрылған Хаусдорф кеңістіктерімен қамтылған толық кіші категориямен беріледі. Функционалдық бағдарламалау тілдерінде морфизмді көбінесе деп атайды, ал синтаксис жиі былай жазылады. Мұндағы морфизмді кейбір бағдарламалау тілдеріндегі eval функциясымен шатастыруға болмайды, ол цитаталанған өрнектерді бағалайды.