Введение
Категорическое обобщение пространства функций в теории множеств
В математике, в частности в теории категорий, экспоненциальный объект или объект отображений является категорическим обобщением пространства функций в теории множеств. Категории, обладающие всеми конечными произведениями и экспоненциальными объектами, называются картезиански замкнутыми категориями. Категории (например, подкатегории Top) без сопряженных произведений могут все же иметь экспоненциальный закон.
Универсальная собственность
Экспоненциал задается универсальным морфизмом из функтора произведения в объект . Этот универсальный морфизм состоит из объекта и морфизма .
Примеры
В категории множеств экспоненциальный объект – это множество всех функций. Отображение – это просто карта вычисления (оценки), которая сопоставляет пару значению . Для любого отображения отображение является каррированной формой :
Heyting-алгебра – это просто ограниченная решетка, обладающая всеми экспоненциальными объектами. Heyting-импликация, , является альтернационным обозначением для . Вышеуказанные результаты сопряженности переводятся в то, что импликация является правым сопряженным к пересечению. Это сопряжение можно записать как , или более полно как:
В категории топологических пространств экспоненциальный объект существует при условии, что является локально компактным пространством Хаусдорфа. В этом случае пространство представляет собой множество всех непрерывных функций из в вместе с компактно-открытой топологией. Карта вычисления (оценки) такая же, как и в категории множеств; она непрерывна относительно указанной топологии. Если не является локально компактным пространством Хаусдорфа, экспоненциальный объект может не существовать (пространство всё ещё существует, но оно может не быть экспоненциальным объектом, поскольку функция вычисления (оценки) не обязана быть непрерывной). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой. Однако категория локально компактных топологических пространств также не является декартово замкнутой, поскольку не обязана быть локально компактной для локально компактных пространств и . Декартово замкнутая категория пространств, например, задается полной подкатегорией, порожденной компактно-порожденными пространствами Хаусдорфа. В функциональных языках программирования морфизм часто называют , а синтаксис часто записывают . Этот морфизм не следует путать с функцией `eval` в некоторых языках программирования, которая вычисляет заключенные в кавычки выражения.